Графично представяне на редица от спектъра на Фурие. Практическо приложение на преобразуването на Фурие за анализ на сигнали. Въведение за начинаещи. Спектрална диаграма на периодичен сигнал

Понастоящем са известни следните методи за организиране на радиоканали (радиотехнологии): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Възможни са комбинации от тях (например FDMA/TDMA). Времето на прилагане на тези технологии до голяма степен съвпада с етапите на развитие на мобилните комуникационни системи. Първото поколение мобилно радиотелефонно оборудване използва технология за множествен достъп с честотно делениеканали (FDMA). FDMA радио технологията досега се използва успешно в модерно оборудване клетъчни комуникациипърво поколение, както и в по-прости мобилни радиотелефонни системи с неклетъчна структура. Що се отнася до стандартите за мобилна комуникация от първия етап, концепцията за стандарти не се използва за първите радиални системи и оборудването се различава в зависимост от имената на системите (Altai, Volemot, Actionet и др.). Системите за клетъчна комуникация започнаха да се различават по стандарти. Технологията FDMA е в основата на такива стандарти за клетъчни комуникационни системи от първо поколение като NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS.Системите за клетъчна мобилна комуникация от второ поколение направиха прехода към цифрова обработка на предадени гласови съобщения, които започнаха да използват радиотехнологията за множествен достъп с разделяне на времето (TDMA). В резултат на прехода към TDMA: шумоустойчивостта на радиотрасета се е увеличила, защитата му от подслушване е станала по-добра и т.н. TDMA се използва в системи със стандарти като GSM, D-AMPS(последният често се нарича просто TDMA в американската версия). Радиотехнологията за множествен достъп с кодово разделяне CDMA, или в английската версия CDMA, се въвежда активно в обществените радиотелефонни мрежи едва през последните пет години. Тази радиотехнология има своите предимства, т.к в CDMA оборудване: - ефективността на използване на радиочестотния спектър е 20 пъти по-висока в сравнение с радиооборудването на стандарта AMPS (FDMA технология) и 3 пъти по-висока в сравнение с GSM (TDMA технология); - значително по-добро качество, надеждност и конфиденциалност на комуникациите, отколкото в други 2-ро поколение TDMA системи; - възможно е да се използват малки по размер терминали с ниска мощност дългосрочен планработа; - на същото разстояние от базовата станция мощността на излъчване на абонатните терминали на CDMA е повече от 5 пъти по-ниска в сравнение със същия показател в стандартните мрежи, базирани на други радиотехнологии; - възможно е да се оптимизира топологията на мрежата при изчисляване на зоните на покритие. Технологията CDMA за първи път е внедрена в клетъчно оборудване на стандарта IS-95. По отношение на техните възможности за обслужване, съществуващите CDMA системи принадлежат към второ поколение клетъчни комуникационни системи. Според статистиката на Националния институт по телекомуникации (ETRI), броят на абонатите на CDMA мрежата нараства с 2000 души всеки ден. По отношение на скоростта на нарастване на броя на абонатите тези мрежи надминават мрежите на други съществуващи стандарти за клетъчна комуникация, изпреварвайки развитието на клетъчните мрежи дори на такъв популярен стандарт като GSM. В момента има най-малко 30 милиона абонати в CDMA мрежи. Световната телекомуникационна общност е склонна да вярва, че CDMA ще заеме водеща позиция в бъдещите системи за безжичен достъп до абонатни линии (персонални комуникационни системи от трето поколение). Това заключение е направено поради факта, че технологията CDMA е най-способна да отговори на изискванията за оборудване IMT-2000 от трето поколение, по-специално за осигуряване на обмен на информация с високи скорости на предаване. Въпреки това, в бъдещите системи за безжичен достъп се планира да се използват така наречените широколентови CDMA системи, където честотната лента на канал ще бъде най-малко 5 MHz (в съвременните CDMA системи от второ поколение лентата на канал е 1,23 MHz). През последните няколко години започнаха да се появяват инструменти безжична комуникация, които са базирани на технологията Frequency Hopping Spread Spectrum (FH-CDMA). Тази технология съчетава спецификата на TDMA, където всяка честота е разделена на няколко времеви слота, и CDMA, където всеки предавател използва специфична последователност от шумоподобни сигнали. Тази технология намери своето приложение в системи, предназначени за организиране на фиксирани комуникации.

КЪДЕ ДА НАМЕРЯ ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПО МАНЯ СИ ЗНАМ

44. Представяне на периодични сигнали под формата на ред на Фурие

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Периодични сигнали и редове на Фурие

Математически модел на процес, който се повтаря във времето, е периодичен сигнал със следното свойство:

Тук Т е периодът на сигнала.

Задачата е да се намери спектралното разлагане на такъв сигнал.

Редица на Фурие.

Нека зададем интервала от време, разгледан в гл. I е ортонормална основа, образувана от хармонични функции с множество честоти;

Всяка функция от този базис удовлетворява условието за периодичност (2.1). Следователно, чрез извършване на ортогонално разлагане на сигнала в тази база, т.е. чрез изчисляване на коефициентите

получаваме спектралното разлагане

валидни през цялата безкрайност на времевата ос.

Серия от вида (2.4) се нарича серия на Фурие на даден сигнал. Нека въведем основната честота на последователността, която формира периодичния сигнал. Изчислявайки коефициентите на разширение, използвайки формула (2.3), записваме серията на Фурие за периодичен сигнал

с коефициенти

(2.6)

И така, в общия случай периодичният сигнал съдържа независима от времето постоянна компонента и безкраен набор от хармонични трептения, така наречените хармоници с честоти, кратни на основната честота на последователността.

Всеки хармоник може да бъде описан чрез неговата амплитуда и начална фаза. За да направите това, коефициентите на реда на Фурие трябва да бъдат записани във формата

Замествайки тези изрази в (2.5), получаваме друга, еквивалентна форма на реда на Фурие:

което понякога се оказва по-удобно.

Спектрална диаграма на периодичен сигнал.

Това е това, което обикновено се нарича графично представяне на коефициентите на реда на Фурие за конкретен сигнал. Има амплитудни и фазови спектрални диаграми (фиг. 2.1).

Тук хоризонталната ос представя хармоничните честоти в определена скала, а вертикалната ос представлява техните амплитуди и начални фази.

ориз. 2.1. Спектрални диаграми на някакъв периодичен сигнал: а - амплитуда; b - фаза

Те се интересуват особено от амплитудната диаграма, която позволява да се прецени процентното съдържание на определени хармоници в спектъра на периодичен сигнал.

Нека проучим няколко конкретни примера.

Пример 2.1. Серия на Фурие от периодична поредица от правоъгълни видеоимпулси с известни параметри, дори спрямо точката t = 0.

В радиотехниката съотношението се нарича работен цикъл на последователността. С помощта на формули (2.6) намираме

Удобно е да напишете крайната формула на реда на Фурие във формата

На фиг. Фигура 2.2 показва амплитудните диаграми на разглежданата последователност в два екстремни случая.

Важно е да се отбележи, че последователност от къси импулси, които следват един след друг, доста рядко има богат спектрален състав.

ориз. 2.2. Амплитуден спектър на периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси: а - с голям работен цикъл; b - с нисък работен цикъл

Пример 2.2. Серия на Фурие от периодична последователност от импулси, образувана от хармоничен сигнал с форма, ограничена на ниво (приема се, че ).

Нека въведем специален параметър - ъгълът на срязване, определен от отношението where

В съответствие с това стойността е равна на продължителността на един импулс, изразена в ъглова мярка:

Аналитичният запис на импулса, генериращ разглежданата последователност, има формата

Компонент с постоянна последователност

Първи хармоничен амплитуден фактор

По същия начин амплитудите на хармоничните компоненти се изчисляват при

Получените резултати обикновено се записват така:

където функционира така нареченият Berg:

Графиките на някои функции на Берг са показани на фиг. 2.3.

ориз. 2.3. Графики на първите няколко функции на Берг

    Спектрална плътност на сигналите.

Директно и обратно преобразуване на Фурие.

Периодичен сигнал с произволна форма с период T може да бъде представен като сума

хармонични трептения с различни амплитуди и начални фази, чиито честоти са кратни на основната честота. Хармоникът на тази честота се нарича основен или първи, останалите се наричат ​​висши хармоници.

,

Тригонометрична форма на реда на Фурие:
Къде

- постоянен компонент;

- амплитуди на косинусови компоненти;

- амплитуди на синусоидални компоненти.
Четен сигнал (
) има само косинус и нечетно (

- само синусоидални членове.

,

Тригонометрична форма на реда на Фурие:
Къде

По-удобна е еквивалентната тригонометрична форма на реда на Фурие:

- амплитуда на n-тия хармоник на сигнала. Наборът от амплитуди на хармоничните компоненти се нарича амплитуден спектър;

  1. - начална фаза на n-тия хармоник на сигнала. Съвкупността от фази на хармоничните компоненти се нарича фазов спектър.

Спектър на периодична последователност от правоъгълни импулси. Зависимост на спектъра от периода на повторение на импулсите и тяхната продължителност. Ширина на спектъра. Разширение в ред на Фурие
Нека изчислим амплитудните и фазовите спектри на STPP с амплитуда , продължителност , период на пътуване

и разположени симетрично спрямо началото на координатите (сигналът е четна функция).

Фигура 5.1 – Времева диаграма на AEFI.

Може да се запише сигнал за интервал от един период:

,

Изчисления:

Редът на Фурие за PPPI има формата:.

Фигура 5.2 – Амплитудна спектрална диаграма на SPPI.

SPPI спектърът е линеен (дискретен) (представен като набор от отделни спектрални линии), хармоничен (спектралните линии са на еднакво разстояние една от друга ω 1), намаляващ (амплитудите на хармониците намаляват с увеличаване на броя им), има лобова структура (ширината на всеки лоб е 2π/ τ), неограничена (честотният интервал, в който се намират спектралните линии, е безкраен);

При цели цикли на запълване честотните компоненти с честоти, кратни на работния цикъл, отсъстват в спектъра (честотите им съвпадат с нулите на обвивката на амплитудния спектър);

С увеличаването на работния цикъл амплитудите на всички хармонични компоненти намаляват. Освен това, ако е свързано с увеличаване на периода на повторение T, тогава спектърът става по-плътен (ω 1 намалява), с намаляване на продължителността на импулса τ, ширината на всеки лоб става по-голяма;

Честотният интервал, съдържащ 95% от енергията на сигнала, се приема като ширина на SPPI спектъра (равна на ширината на първите два дяла на обвивката):

или
;

Всички хармоници, разположени в един и същ лоб на обвивката, имат еднакви фази, равни на 0 или π.

  1. Използване на преобразуването на Фурие за анализ на спектъра на непериодичните сигнали. Спектър на единичен правоъгълен импулс. Интегрални преобразувания на Фурие

Комуникационните сигнали винаги са ограничени във времето и следователно не са периодични. Сред непериодичните сигнали най-голям интерес представляват единичните импулси (SP). ОП може да се разглежда като граничен случай на периодична импулсна последователност (ППС) с продължителност с безкрайно голям период на повторение
.

Фигура 6.1 – PPI и OI.

Непериодичният сигнал може да бъде представен чрез сбор от безкрайно голям брой трептения с безкрайно близки честоти и изчезващо малки амплитуди. IR спектърът е непрекъснат и се въвежда от интеграли на Фурие:

-
(1) - директно преобразуване на Фурие. Позволява ви да намерите аналитично спектралната функция от дадена форма на сигнала;

-
(2) - обратно преобразуване на Фурие. Позволява ви да намерите аналитично формата, като използвате дадена спектрална функция на сигнала.

Комплексна форма на интегралното преобразуване на Фурие(2) дава двупосочно спектрално представяне (с отрицателни честоти) на непериодичен сигнал
като сума от хармонични трептения
с безкрайно малки комплексни амплитуди
, чиито честоти непрекъснато запълват цялата честотна ос.

Комплексна спектрална плътност на сигнала – сложна функциячестота, като едновременно носи информация както за амплитудата, така и за фазата на елементарните хармоници.

Модулът на спектралната плътност се нарича амплитудна спектрална плътност. Може да се разглежда като честотна характеристика на непрекъснатия спектър на непериодичен сигнал.

Аргумент за спектрална плътност
се нарича спектрална плътност на фазите. Може да се разглежда като характеристика на фазовата характеристика на непрекъснатия спектър на непериодичен сигнал.

Нека трансформираме формула (2):

Тригонометрична форма на интегралното преобразуване на Фуриедава еднопосочно спектрално представяне (без отрицателни честоти) на непериодичен сигнал:

.

Цифрови филтри (лекция)

Въз основа на типа импулсна характеристика цифровите филтри се разделят на два големи класа:

· Филтри с ultimate импулсна реакция(FIR - филтри, напречни филтри, нерекурсивни филтри). Знаменателят на предавателната функция на такива филтри е определена константа.

FIR филтрите се характеризират с израза:

· Филтрите с безкрайна импулсна характеристика (IIR филтри, рекурсивни филтри) използват един или повече от своите изходи като вход, т.е. обратна връзка. Основното свойство на такива филтри е, че тяхната импулсна характеристика има безкрайна дължина във времевата област, а предавателната функция има дробно-рационална форма.

IIR филтрите се характеризират с израза:

Разликата между FIR филтрите и IIR филтрите е, че за FIR филтрите изходният отговор зависи от входните сигнали, а за IIR филтрите изходният отговор зависи от текущата стойност.

Импулсен отговоре реакцията на веригата към единичен сигнал.

дединичен сигнал

Така единичен сигнал само в една точка е равен на един - в началната точка.

Задържан дединичен сигналсе определя, както следва:

По този начин забавеният единичен сигнал се забавя с k периода на дискретизация.

Сигнали и спектри

Двойственост (дуалност) на представяне на сигнала.

Всички сигнали могат да бъдат представени във времевата или честотната равнина.


Освен това има няколко честотни равнини.

Времеви план.

Трансформации.

Честотна равнина.

Има устройство за гледане на сигнала във времевата равнина:

Нека си представим, че има доста дълъг синусоидален сигнал (синусоида се повтаря 1000 пъти за 1 секунда):

Да вземем сигнал с два пъти по-голяма честота:

Нека съберем тези сигнали. Получаваме не синусоида, а изкривен сигнал:

Трансформациите от времевата равнина към честотната равнина се правят с помощта на трансформации на Фурие.

Има устройство за гледане на сигнала в честотната равнина:

Честота циклична или кръгова ( f).

Честотната равнина ще покаже прорез:

Големината на прореза е пропорционална на амплитудата на синусоидата, а честотата:

За втория сигнал честотният домейн ще покаже различен прорез:

Във времевата област на общия сигнал ще се появят 2 резки:

И двете представяния на сигнала са еквивалентни и се използва или първото, или другото представяне, в зависимост от това кое е по-удобно.

Преобразуването от времевата равнина в честотната равнина може да се извърши по различни начини. Например: използване на трансформации на Лаплас или използване на трансформации на Фурие.

Три форми на запис на редове на Фурие.

Има три форми на писане на редове на Фурие:

· Синус - косинус форма.

· Реална форма.

· Сложна форма.

1.) В синус-косинус форма Редът на Фурие има формата:

Честотни кратни, включени във формулата kω 1 се наричат хармоници; хармониците са номерирани според индекса к; честота ωk =kω 1 се нарича кти хармоник на сигнала.

Този израз казва следното: че всяка периодична функция може да бъде представена като сума от хармоници, където:

Т– период на повторение на тази функция;

ω - кръгова честота.

, Къде

t– текущо време;

Т– период.

В разширението на Фурие най-важното нещо е периодичността. Благодарение на него възниква честотна дискретизация и започва определен брой хармоници.

За да се установи възможността за тригонометрично разширение за дадена периодична функция, трябва да се изхожда от определен набор от коефициенти. Методът за определянето им е изобретен от Ойлер през втората половина на 18 век и независимо от него в началото на 19 век от Фурие.

Три формули на Ойлер за определяне на коефициенти:

; ;

Формулите на Ойлер не се нуждаят от доказателства. Тези формули са точни за безкраен брой хармоници. Редът на Фурие е съкратен ред, тъй като няма безкраен брой хармоници. Коефициентът на съкратена серия се изчислява по същите формули като за пълната серия. В този случай средната квадратична грешка е минимална.

Мощността на хармониците намалява с увеличаване на броя им. Ако добавите/изхвърлите някои хармонични компоненти, тогава не е необходимо преизчисляване на останалите членове (други хармоници).

Почти всички функции са четни или нечетни:

РАВНОМЕРНА ФУНКЦИЯ

НЕЧАТНА ФУНКЦИЯ

Характеризира се с уравнението:

Например функцията Cos:

за което: t = −t

Четната функция е симетрична по отношение на

ординатни оси

Ако функцията е четна, тогава всички синусови коефициенти кн косинусусловия.


Характеризира се с уравнението:

Например функцията грях:

Странна функция е симетрична спрямо центъра.

Ако функцията е нечетна, тогава всички косинусови коефициенти акще бъде равно на нула и във формулата на реда на Фурие ще присъства само синуситеусловия.

2.) Реална форма Рекорди на Фурие.

Известно неудобство на синус-косинусовата форма на реда на Фурие е, че за всяка стойност на индекса на сумиране к(т.е. за всеки хармоник с честота kω 1) формулата съдържа два члена – синус и косинус. Използвайки формулите на тригонометричните трансформации, сумата от тези два термина може да се трансформира в косинус със същата честота с различна амплитуда и някаква начална фаза:

, Къде

;

Ако С(t) е четна функция, фази φ може да приема само стойности 0 и π , и ако С(t) - функцията е нечетна, тогава възможните стойности за фазата φ равен + π /2.

Ако кн= 0, тогава tg φ = 0 и ъгъл φ = 0

Ако ак= 0, тогава tg φ – ъгълът е безкраен φ =

В тази формула може да има минус (в зависимост от посоката, в която се поема).

3.) Сложна форма Рекорди на Фурие.

Тази форма на представяне на редовете на Фурие е може би най-използваната в радиотехниката. Получава се от реалната форма чрез представяне на косинуса като полусума от комплексни експоненциали (това представяне следва от формулата на Ойлер ejθ = Cosθ + jSinθ):

Чрез кандидатстване тази трансформациякъм реалната форма на реда на Фурие, получаваме сумите от комплексни експоненти с положителни и отрицателни показатели:

Сега ще третираме експонентите със знак минус в индикатора като членове на редица с отрицателни числа. В рамките на същата общ подходпостоянен срок а 0/2 ще стане член на серията с номер нула. Резултатът е сложна форма на запис на реда на Фурие:

Формула за изчисляване на коефициенти CkРедица на Фурие:

Ако С(t) е дажефункция, коефициенти на серия Ckще бъде чисто истински, и ако С(t) - функция странно, коефициентите на серията ще бъдат чисто въображаем.

Наборът от хармонични амплитуди на реда на Фурие често се нарича амплитуден спектър, а съвкупността от техните фази е фазов спектър.

Амплитудният спектър е реалната част от коефициентите CkРедица на Фурие:

Re( Ck) – амплитуден спектър.

Спектър на правоъгълни сигнали.

Разгледайте сигнал под формата на последователност от правоъгълни импулси с амплитуда А, продължителност τ и период на повторение Т. Нека приемем, че референцията за време се намира в средата на импулса.


Този сигнал е четна функция, така че за представянето му е по-удобно да се използва синус-косинусовата форма на реда на Фурие - той ще съдържа само косинусови членове ак, равен на:

От формулата става ясно, че продължителността на импулсите и периодът на тяхното повторение не влизат в нея отделно, а изключително като съотношение. Този параметър - съотношението на периода към продължителността на импулса - се нарича работен цикълимпулсни последователности и се обозначават с буквата: g: g = Т/τ. Нека въведем този параметър в получената формула за коефициентите на реда на Фурие и след това редуцираме формулата до формата Sin(x)/x:

Забележка: В чуждестранната литература вместо работен цикъл се използва обратната стойност, наречена работен цикъл и равна на τ / Т.

С тази форма на запис става ясно видимо на какво е равна стойността на постоянния член на реда: от кога х→ 0 грях( х)/х→ 1, тогава

Сега можем да запишем представянето на последователността от правоъгълни импулси под формата на серия на Фурие:

Амплитудите на хармоничните членове на серията зависят от хармоничното число по закона Sin( х)/х.

Графика на функцията Sin( х)/хима характер на венчелистче. Говорейки за ширината на тези лобове, трябва да се подчертае, че за графики на дискретни спектри на периодични сигнали са възможни два варианта за калибриране на хоризонталната ос - в хармонични числа и в честоти.


На фигурата градуирането на оста съответства на хармоничните числа, а честотните параметри на спектъра са нанесени на графиката с помощта на размерни линии.

Така че ширината на лобовете, измерена в броя на хармониците, е равна на работния цикъл на последователността (при к = нгимаме грях (π к/ж) = 0 ако п≠ 0). Това предполага важно свойство на спектъра на поредица от правоъгълни импулси - той не съдържа (има нулеви амплитуди) хармоници с числа, кратни на работния цикъл.

Честотното разстояние между съседни хармоници е равно на честотата на повторение на импулса - 2 π /Т. Ширината на лобовете на спектъра, измерена в честотни единици, е 2 π /τ , т.е. обратно пропорционална на продължителността на импулса. Това е проява на общия закон - колкото по-къс е сигналът, толкова по-широк е неговият спектър.

Заключение : за всеки сигнал са известни неговите разширения в ред на Фурие. знаейки τ и Тможем да изчислим колко хармоници са необходими за предаване на мощност.

Методи за анализ на линейни системи с постоянни коефициенти.

Проблем, както е посочено:

Има линейна система (не зависи от амплитудата на сигнала):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; ние определяме входните портове.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; определяме изходните портове.

ORG P: 0; организация на P-паметта.

НУЛИРАНЕ: JMP START ; безусловен преход към етикета START.

P:100; програмата ще започне от стотната клетка.

НАЧАЛО: ПРЕМЕСТИТЕ BUF_X, R0 ; Въвеждаме началния адрес X в R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ;преместване към мод. arith (номер на запис за 1 човек., отколкото реда на този буфер)

MOVE# COEFFS, R4; организационен цикъл. буфер за коефициенти в Y памет.

MOVE# M0, M4 ; тъй като дължината трябва да съвпада, тогава рез. от M0 до M4.

CLRA ; нулирайте батерията.

REP# ORDFIL ; повторете верижната операция.

ДВИЖЕНИЕ A, X: (R4) + ; използвани автоинкремент и всички клетки са буферни. нулиране.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ;байт. препращане на показания (последно смарт. към b0).

REP# ORDFIL─1 ; представител верижна работа (39 пъти интелигентно без закръгляване)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ;интелигентен. X0naY0, рез. в ак; подготовка сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; байт по байт прехвърляне на съдържание. батерия

JMP LOOP; безусловен скок към етикета LOOP.

Процедура за проектиране на цифрови филтри.

Процедурата за проектиране на цифрови филтри е свързана предимно с вида на филтъра по линията на честотната характеристика. Един от често срещаните проблеми в практиката е създаването на филтри, които предават сигнали в определена честотна лента и блокират други честоти. Има четири вида:

1.) Нискочестотни филтри (LPF; английски термин - low-pass filter), предаващи честоти по-малки от определена гранична честота ω 0.

2.) Високочестотни филтри (HPF; английски термин - high-pass filter), предаващи честоти по-големи от определена гранична честота ω 0.

3.) Лентови филтри (PF; английски термин - band-pass filter), пропускащи честоти в определен диапазон ω 1…. ω 2 (те също могат да се характеризират със средна честота ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Notch филтри (други възможни имена са stop filter, plug filter, band-stop filter; английски термин - band-stop filter), предаващи към изхода Всичкичестоти, освенлежащи в определен диапазон ω 1…. ω 2 (те също могат да се характеризират със средна честота ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 и честотна лента Δ ω = ω 2 – ω 1).

Идеалната форма на честотната характеристика на тези четири вида филтри е:



Такава идеална (правоъгълна) форма на АЧХ обаче не може да бъде физически реализирана. Поради това в теорията на аналоговите филтри са разработени редица методи приближенияправоъгълна честотна характеристика.

В допълнение, след като изчислите нискочестотния филтър, можете да използвате прости трансформации, за да промените неговата гранична честота, да го превърнете във високочестотен филтър, лентов или прорезен филтър с определени параметри. Следователно изчисляването на аналогов филтър започва с изчисляването на т.нар прототипен филтър, който е нискочестотен филтър с гранична честота 1 rad/s.

1.) Филтър на Бътъруърт:

Трансферната функция на прототипа на филтъра на Бътъруърт няма нули и полюсите му са равномерно разположени на s-равнина в лявата половина на окръжност с единичен радиус.

За филтъра на Бътъруърт граничната честота се определя от нивото 1/. Филтърът Butterworth осигурява колкото е възможно по-плоскапик в лентата на пропускане.

2.) Чебишев филтър от първи вид:

Предавателната функция на филтъра на Чебишев от първи род (филтър на Чебишев тип I) също няма нули и неговите полюси са разположени в лявата половина на елипсата на s- самолет. За филтър на Чебишев от първи вид граничната честота се определя от нивото на пулсации в лентата на пропускане.

В сравнение с филтър на Бътъруърт от същия порядък, филтърът на Чебишев осигурява по-рязък спад на честотната характеристика в областта на прехода от лентата на пропускане към лентата на спиране.

3.) Филтър Чебишев от втори вид:

Трансферната функция на филтър тип II на Чебишев, за разлика от предишните случаи, има както нули, така и полюси. Филтрите на Чебишев от втория вид се наричат ​​още обратни филтри на Чебишев. Граничната честота на филтъра на Чебишев от втория вид не е краят на лентата на пропускане, а начало на стоп лентата. Коефициентът на предаване на филтъра при нулева честота е 1, при честотата на срязване - до определеното ниво на пулсации в лентата на спиране. При ω → ∞ коефициентът на предаване е нула за нечетен ред на филтъра и нивото на пулсации за четен. При ω = 0 Честотната характеристика на филтър на Чебишев от втори вид е възможно най-плоска.

4.) Елиптични филтри:

Елиптични филтри (филтри на Кауер; английски термини - елиптичен филтър, филтър на Кауер) в известен смисъл съчетават свойствата на филтрите на Чебишев от първи и втори вид, тъй като честотната характеристика на елиптичен филтър има вълни с дадена величина, както в лентата на пропускане и в лентата на спиране. Благодарение на това е възможно да се осигури максимално възможен (с фиксиран ред на филтъра) наклон на наклона на честотната характеристика, т.е. преходната зона между лентата на пропускане и лентата на спиране.

Предавателната функция на елиптичния филтър има както полюси, така и нули. Нулите, както и в случая на филтъра на Чебишев от втори род, са чисто имагинерни и образуват комплексно спрегнати двойки. Броят на нулите на предавателната функция е равен на максималното четно число, което не надвишава реда на филтъра.

Функциите на MATLAB за изчисляване на филтри Butterworth, Chebyshev от първи и втори вид, както и елиптични филтри ви позволяват да изчислявате както аналогови, така и дискретни филтри. Функциите за изчисляване на филтъра изискват редът на филтъра и неговата честота на прекъсване да бъдат посочени като входни параметри.

Редът на филтъра зависи от:

    на допустимата неравномерност в лентата на пропускане на размера на зоната на неопределеност. (Колкото по-малка е зоната на несигурност, толкова по-рязък е спадът на честотната характеристика).

За FIR филтрите редът е няколко десетки или стотици, а за IIR филтрите редът не надвишава няколко единици.

Пиктограмите дават възможност да видите всички коефициенти. Дизайнът на филтъра се извършва на един прозорец.

Сигналът се извиква периодичен, ако формата му се повтаря циклично във времето. Периодичен сигнал в обща форма се записва, както следва:

Ето периода на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат прости или сложни.

За математическото представяне на периодични сигнали с период често се използва тази серия, в която като базисни функции се избират хармонични (синусови и косинусови) колебания с множество честоти:

Къде . - основната ъглова честота на последователността от функции. За хармоничните базисни функции от тази серия получаваме редица на Фурие, която в най-простия случай може да бъде записана в следната форма:

къде са коефициентите

От редовете на Фурие става ясно, че в общия случай периодичният сигнал съдържа постоянен компонент и набор от хармонични трептения на основната честота и нейните хармоници с честоти. Всяко хармонично трептене от реда на Фурие се характеризира с амплитуда и начална фаза.

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал.

Ако някой сигнал се представи като сума от хармонични трептения с различни честоти, това означава, че спектрално разлагане сигнал.

Спектрална диаграмасигналът е графично представяне на коефициентите на реда на Фурие на този сигнал. Има амплитудни и фазови диаграми. За да се конструират тези диаграми, стойностите на хармоничните честоти се нанасят в определен мащаб по хоризонталната ос, а техните амплитуди и фази се нанасят по вертикалната ос. Освен това амплитудите на хармониците могат да приемат само положителни стойности, фазите могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности в интервала.

Спектрални диаграми на периодичен сигнал:

а) - амплитуда; б) - фаза.

Спектър на сигнала- това е набор от хармонични компоненти със специфични стойности на честоти, амплитуди и начални фази, които заедно образуват сигнал. На практика спектралните диаграми се наричат ​​по-кратко - амплитуден спектър, фазов спектър. Най-голям интерес представлява амплитудната спектрална диаграма. Може да се използва за оценка на процента на хармониците в спектъра.

Спектралните характеристики играят голяма роля в телекомуникационните технологии. Познавайки спектъра на сигнала, можете правилно да изчислите и зададете честотната лента на усилватели, филтри, кабели и други възли на комуникационни канали. Познаването на спектрите на сигнала е необходимо за изграждане на многоканални системи с честотно разделяне. Без познаване на спектъра на смущенията е трудно да се вземат мерки за неговото потискане.

От това можем да заключим, че спектърът трябва да бъде известен, за да се извърши неизкривено предаване на сигнала по комуникационния канал, за да се осигури разделяне на сигнала и да се намалят смущенията.


За наблюдение на спектрите на сигналите има устройства, наречени спектрални анализатори. Те ви позволяват да наблюдавате и измервате параметрите на отделните компоненти на спектъра на периодичен сигнал, както и да измервате спектралната плътност на непрекъснат сигнал.

Често математическото описание дори на детерминистични сигнали, които са прости по структура и форма, е трудна задача. Затова се използва оригинална техника, при която реални комплексни сигнали се заменят (представят, апроксимират) с набор (претеглена сума, т.е. серия) от математически модели, описани от елементарни функции. Това осигурява важен инструмент за анализиране на преминаването на електрически сигнали през електронни вериги. В допълнение, представянето на сигнала може да се използва и като първоначално при неговото описание и анализ. В този случай можете значително да опростите обратния проблем - синтезсложни сигнали от набор от елементарни функции.

Спектрално представяне на периодични сигнали чрез ред на Фурие

Обобщен ред на Фурие.

Фундаменталната идея за спектралното представяне на сигнали (функции) датира отпреди повече от 200 години и принадлежи на физика и математика Дж. Б. Фурие.

Нека разгледаме системи от елементарни ортогонални функции, всяка от които се получава от една първоначална - прототипната функция. Тази прототипна функция действа като „градивен елемент“ и желаното приближение се намира чрез подходящо комбиниране на идентични блокове. Фурие показа, че всяка сложна функция може да бъде представена (апроксимирана) като крайна или безкрайна сума от поредица от множество хармонични трептения с определени амплитуди, честоти и начални фази. Тази функция може да бъде по-специално токът или напрежението във веригата. Слънчевият лъч, разложен от призма на спектър от цветове, е физически аналог на математическите преобразувания на Фурие (фиг. 2.7).

Светлината, излизаща от призмата, се разделя в пространството на отделни чисти цветове или честоти. Спектърът има средна амплитуда на всяка честота. По този начин функцията на интензитета спрямо времето се трансформира във функция на амплитудата спрямо честотата. Проста илюстрация на разсъжденията на Фурие е показана на фиг. 2.8. Периодична, доста сложна по форма крива (фиг. 2.8, А) -това е сумата от два хармоника с различни, но множество честоти: единичен (фиг. 2.8, б)и удвоени (фиг. 2.8, V).

ориз. 2.7.

ориз. 2.8.

А- сложно трептене; b,c- 1-ви и 2-ри апроксимиращи сигнали

Използване на спектрален анализ на Фурие сложна функциясе представя от сумата от хармоници, всяка от които има собствена честота, амплитуда и начална фаза. Преобразуването на Фурие дефинира функции, представляващи амплитудата и фазата на хармоничните компоненти, съответстващи на определена честота, а фазата е началната точка на синусоидата.

Трансформацията може да бъде получена чрез два различни математически метода, единият от които се използва, когато първоначалната функция е непрекъсната, а другият, когато е дадена от много индивидуални дискретни стойности.

Ако изследваната функция се получава от стойности с определени дискретни интервали, тогава тя може да бъде разделена на последователна серия от синусоидални функции с дискретни честоти- от най-ниската, основна или основна честота, а след това с удвоени, утроени честоти и т.н. над главния. Тази сума от компоненти се нарича до Фурие.

Ортогонални сигнали. По удобен начинСпектралното описание на сигнала според Фурие е неговото аналитично представяне с помощта на система от ортогонални елементарни функции на времето. Нека има хилбертово пространство от сигнали u0(t)y G/,(?), ..., u n(t)с крайна енергия, дефинирана за краен или безкраен интервал от време (t v 1 2). На този сегмент ще дефинираме безкрайна система (подмножество) от взаимосвързани елементарни функции на времето и ще я наречем основен".

Къде g = 1, 2, 3,....

Функции u(t)и v(t)са ортогонални на интервала (?, ? 2), ако тяхното скаларно произведение, при условие че нито една от тези функции не е идентично нула.

В математиката това се дефинира в Хилбертовото пространство на сигналите ортогонална координатна основа, т.е. система от ортогонални базисни функции.

Свойството ортогоналност на функциите (сигналите) се свързва с интервала на тяхното дефиниране (фиг. 2.9). Например два хармонични сигнала m,(?) = = sin(2nr/7’ 0) и u., (t)= грях (4 nt/T Q)(т.е. с честоти / 0 = 1/7’ 0 и съответно 2/ 0) са ортогонални за всеки интервал от време, чиято продължителност е равна на цял брой полупериоди Т 0(фиг. 2.9, А).Следователно в първия период сигналите и ( (1)и u2(t)са ортогонални на интервала (0,7" 0 /2); но на интервала (O, ZG 0 /4) те са неортогонални. Pa Фиг. 2.9, bсигналите са ортогонални поради различното време на появата им.

ориз. 2.9.

А- на интервала; б -поради различни времена на поява Представяне на сигнала u(t)елементарните модели е значително опростено, ако се избере система от базисни функции vff),притежаващ имота ортонормалност.От математиката е известно дали за всяка двойка функции от ортогоналната система (2.7) е изпълнено условието

тогава системата от функции (2.7) ортонормална.

В математиката се нарича такава система от базисни функции от вида (2.7). ортонормална основа.

Нека в даден интервал от време |r, t 2| произволен сигнал е активен u(t)и за представянето му се използва ортонормираната система от функции (2.7). Проектиране на произволен сигнал u(t)по оста на координатната основа се нарича разширяване в обобщен ред на Фурие.Това разширение има формата

където c са някои постоянни коефициенти.

За определяне на коефициентите от дообобщен ред на Фурие, избираме една от базисните функции (2.7) v k (t) sпроизволен брой до.Нека умножим двете страни на разширението (2.9) по тази функция и интегрираме резултата във времето:

Поради ортонормалността на основата на избраните функции, от дясната страна на това равенство всички членове на сумата при аз ^ доще отиде на нула. Само единственият член на сбора с числото ще остане различен от нула аз = до,Ето защо

Продукт на формата c k v k (t),включен в обобщения ред на Фурие (2.9), е спектрален компонентсигнал u(t),и набор от коефициенти (проекции на сигнални вектори върху координатните оси) (с 0 , с,..., от до,..., с„) напълно определя анализирания сигнал ii(t)и се нарича спектър(от лат. спектър- изображение).

Същността спектрално представяне (анализ) на сигнала се състои в определяне на коефициентите с i в съответствие с формула (2.19).

Изборът на рационална ортогонална система от координатна основа от функции зависи от целта на изследването и се определя от желанието за максимално опростяване на математическия апарат за анализ, трансформация и обработка на данни. Понастоящем като базисни функции се използват полиномите на Чебишев, Ермит, Лагер, Лежандр и др. Най-разпространената трансформация на сигнали в базисите на хармоничните функции: комплексна експоненциална опит (J 2 фута)и реални тригонометрични функции синус-косинус, свързани с формулата на Ойлер e>x= cosx + y"sinx. Това се обяснява с факта, че хармоничното трептене теоретично напълно запазва формата си при преминаване през линейни вериги с постоянни параметри и само неговата амплитуда и начална фаза се променят. Символният метод, добре развит в теорията на веригите, също се използва широко. Операцията за представяне на детерминирани сигнали под формата на набор от постоянни компоненти ( постоянен компонент)и обикновено се нарича сборът от хармонични трептения с множество честоти спектрално разлагане.Доста широкото използване на обобщените редове на Фурие в теорията на сигнала също е свързано с много важното им свойство: с избрана ортонормална система от функции vk(t)и фиксиран брой членове в серия (2.9), осигурява най-доброто представяне на даден сигнал u(t).Това свойство на редовете на Фурие е широко известно.

В спектралното представяне на сигналите най-широко се използват ортонормалните бази на тригонометрични функции. Това се дължи на следното: най-лесно се генерират хармонични трептения; хармоничните сигнали са инвариантни по отношение на трансформациите, извършвани от стационарни линейни електрически вериги.

Нека да оценим времевите и спектрални представяния на аналоговия сигнал (фиг. 2.10). На фиг. 2.10, Апоказва времева диаграма на сложен непрекъснат сигнал, а фиг. 2.10, б -неговото спектрално разлагане.

Нека разгледаме спектралното представяне на периодични сигнали като сума от хармонични функции или комплексни експоненциали с честоти, образуващи аритметична прогресия.

Периодичните наричат ​​сигнала u„(?). повтарящи се на равни интервали (фиг. 2.11):

където Г е периодът на повторение или повторение на импулси; n = 0,1, 2,....

ориз. 2.11. Периодичен сигнал

Ако Те периодът на сигнала u(t),тогава периодите също ще бъдат кратни на него: 2G, 3 Ти т.н. Периодична последователност от импулси (те се наричат видео импулси) се описва с израза


ориз. 2.10.

А- времева диаграма; b- амплитуден спектър

тук uQ(t)- формата на единичен импулс, характеризираща се с амплитуда (височина) h = E,продължителност t„, период на проследяване Т= 1/F(F - честота), позиция на импулсите във времето спрямо часовниковите точки, например t = 0.

За спектрален анализ на периодични сигнали е удобна ортогоналната система (2.7) под формата на хармонични функции с множество честоти:

където co, = 2p/T-честота на повторение на импулса.

Чрез изчисляване на интегралите по формула (2.8) е лесно да се провери ортогоналността на тези функции на интервала [-Г/2, Г/2|. Всяка функция удовлетворява условието за периодичност (2.11), тъй като техните честоти са кратни. Ако системата (2.12) е написана като

тогава получаваме ортонормална основа от хармонични функции.

Нека си представим периодичен сигнал, най-често срещаният в теорията на сигнала тригонометричен(синус-косинус) формаРедица на Фурие:

От курса по математика е известно, че съществува разширение (2.11), т.е. редът се сближава, ако функцията (в този случай сигналът) u(t)на интервала [-7/2, 7/2] удовлетворява Условия на Дирихле(за разлика от теоремата на Дирихле, те често се тълкуват по опростен начин):

  • не трябва да има прекъсвания от 2-ри вид (с разклонения, отиващи до безкрайност);
  • функцията е ограничена и има краен брой прекъсвания от 1-ви род (скокове);
  • функцията има краен брой екстремуми (т.е. максимуми и минимуми).

Формула (2.13) съдържа следните компоненти на анализирания сигнал:

Постоянна компонента

Амплитуди на косинусови компоненти

Амплитуди на синусоидални компоненти

Спектралната компонента с честота co, в теорията на комуникацията се нарича първи (основен) хармоничени компоненти с честоти ISO, (n> 1) - висши хармониципериодичен сигнал. Честотната стъпка Aco между две съседни синусоиди от разширението на Фурие се нарича честотна резолюцияспектър

Ако сигналът е четна функция на времето u(t) = u(-t), тогава в тригонометричното представяне на реда на Фурие (2.13) няма синусоидални коефициенти b n, тъй като в съответствие с формула (2.16) те изчезват. За сигнал u(t),описан с нечетна функция на времето, напротив, съгласно формула (2.15), косинусовите коефициенти са равни на нула a p(постоянен компонент а 0също липсва), а серията съдържа компоненти b p.

Границите на интегриране (от -7/2 до 7/2) не трябва да са същите като във формули (2.14)-(2.16). Интегрирането може да се извърши за произволен интервал от време с ширина 7 - резултатът няма да се промени. Специфичните граници са избрани от съображения за удобство на изчисленията; например може да е по-лесно да се интегрира от O до 7 или от -7 до 0 и т.н.

Клон на математиката, който установява връзката между функция на времето u(t) и спектрални коефициенти a p, b p,наречен хармоничен анализпоради връзката на функцията u(t)със синусови и косинусови членове на тази сума. Освен това спектралният анализ е ограничен главно до рамката на хармоничния анализ, който намира изключително приложение.

Често използването на синус-косинусовата форма на реда на Фурие не е напълно удобно, тъй като за всяка стойност на индекса на сумиране п(т.е. за всеки хармоник с честота mOj) във формула (2.13) се появяват два члена - косинус и синус. От математическа гледна точка е по-удобно тази формула да се представи чрез еквивалентен ред на Фурие в реална форма/.

Къде А 0 = а 0 / 2; A n = yja 2 n + б -амплитуда; n-ти хармоник на сигнала. Понякога във връзка (2.17) се поставя знак "плюс" пред sr L, тогава началната фаза на хармониците се записва като sr u = -arctg ( b n faн).

В теорията на сигнала комплексната форма на реда на Фурие се използва широко. Получава се от реалната форма на реда чрез представяне на косинуса като полусума от комплексни експоненти с помощта на формулата на Ойлер:

Прилагайки тази трансформация към реалната форма на реда на Фурие (2.17), получаваме сумите на комплексните експоненти с положителни и отрицателни показатели:


А сега ще интерпретираме във формула (2.19) показателите на степента с честота с, със знак минус в показателя, като членове на редица с отрицателни числа. В рамките на същия подход коеф А 0ще стане член на серията с номер нула. След прости трансформации стигаме до сложна формаРедица на Фурие

Комплексна амплитуда пти хармоници.

Ценности S pс положителни и отрицателни числа пса комплексно спрегнати.

Обърнете внимание, че редът на Фурие (2.20) е съвкупност от комплексни експоненциали exp(jn(o (t) с честоти, образуващи аритметична прогресия.

Нека определим връзката между коефициентите на тригонометричните и комплексните форми на реда на Фурие. Очевидно е, че

Може също да се покаже, че коефициентите a p= 2C w coscp„; b n = 2C/I sincp, f .

Ако u(t)е четна функция, коефициентите на серия C ще бъдат истински,какво ако u(t) -функцията е нечетна, коефициентите на серията ще станат въображаем.

Спектралното представяне на периодичен сигнал чрез сложната форма на реда на Фурие (2.20) съдържа както положителни, така и отрицателни честоти. Но отрицателните честоти не съществуват в природата и това е математическа абстракция (физическото значение на отрицателната честота е въртене в посока, обратна на тази, която се приема за положителна). Те се появяват като следствие от формалното представяне на хармоничните вибрации в сложна форма. При преминаване от сложната форма на запис (2.20) към реалната форма (2.17) отрицателната честота изчезва.

Спектърът на сигнала може да се прецени визуално, но той графично изображение- спектрална диаграма (фиг. 2.12). Разграничете амплитудно-честотнаи фазово-честотни спектри.Набор от хармонични амплитуди A p(фиг. 2.12, а)наречен амплитуден спектър, техните фази (фиг. 2.12, б)ср аз - фазов спектър.Тоталност S p = |S pе сложен амплитуден спектър(фиг. 2.12, V).На спектралните диаграми абсцисните оси показват текущата честота, а ординатните оси показват реалната или комплексната амплитуда или фаза на съответните хармонични компоненти на анализирания сигнал.


ориз. 2.12.

А -амплитуда; б -фаза; V -амплитуден спектър на комплексния ред на Фурие

Спектърът на периодичен сигнал се нарича управлявалили дискретни, тъй като се състои от отделни линии с височина, равна на амплитудата A pхармоници От всички видове спектри амплитудните спектри са най-информативни, тъй като позволяват да се оцени количественото съдържание на определени хармоници в честотния състав на сигнала. В теорията на сигнала е доказано, че амплитудният спектър е равномерна честотна функцияи фаза - странно.

Забележка еквидистанция(еквидистанция от началото на координатите) на сложния спектър от периодични сигнали: симетрични (положителни и отрицателни) честоти, при които се намират спектралните коефициенти на тригонометричния ред на Фурие, образуват еднакво отдалечена последователност (..., -жо v..., -2so p -so p 0, v 2 така, ..., ncov...), съдържащ честота co = 0 и имащ стъпка co t = 2l/7’. Коефициентите могат да приемат всякакви стойности.

Пример 2.1

Нека изчислим амплитудните и фазовите спектри на периодична последователност от правоъгълни импулси с амплитуда?, продължителност m и период на повторение Т.Сигналът е четна функция (фиг. 2.13).


ориз. 2.13.

Решение

Известно е, че идеален правоъгълен видео импулс се описва със следното уравнение:

тези. образува се като разлика на две единични функции a(?) (функции на включване), изместени във времето с tn.

Последователността от правоъгълни импулси е известна сума от единични импулси:

Тъй като даденият сигнал е четна функция на времето и през един период действа само на интервала [t и /2, t и /2], то съгласно формула (2.14)

Къде р = Т/Т".

Анализирайки получената формула, можете да видите, че периодът на повторение и продължителността на импулса са включени в нея под формата на съотношение. Тази опция q-отношението на периода към продължителността на импулсите се нарича работен цикълпериодична последователност от импулси (в чуждестранната литература вместо работен цикъл се използва обратната стойност - работен цикъл, от английски, работен цикъл, равно на m и /7); при q = 2 последователност от правоъгълни импулси, когато продължителността на импулсите и интервалите между тях се изравнят, се нарича меандър(от гръцки paiav5poq - модел, геометричен орнамент).

Поради четността на функцията, описваща анализирания сигнал, в реда на Фурие, заедно с постоянния компонент, ще присъстват само косинусови компоненти (2.15):

От дясната страна на формула (2.22) вторият фактор има формата на елементарна функция (sinx)/x. В математиката тази функция се означава като sinc(x) и то само за стойността X= 0 то е равно на едно (lim (sinx/x) =1), преминава

през нула в точки x = ±l, ±2l,... и затихва с увеличаване на аргумента x (фиг. 2.14). Накрая, тригонометричният ред на Фурие (2.13), който апроксимира дадения сигнал, се записва във формата

ориз. 2.14.Графика на функция sinx/x

Функцията синус има характер на венчелистче. Говорейки за ширината на лобовете, трябва да се подчертае, че за графики на дискретни спектри на периодични сигнали са възможни два варианта за калибриране на хоризонталната ос - в хармонични числа и честоти. Например на фиг. 2.14 Ординатната ос е калибрирана, за да съответства на честотите. Ширината на листата, измерена в броя на хармониците, е равна на работния цикъл на последователността. Това предполага важно свойство на спектъра на поредица от правоъгълни импулси - той не съдържа (има нулеви амплитуди) хармоници с числа, кратни на работния цикъл. При импулсен работен цикъл от три, всеки трети хармоник изчезва. Ако коефициентът на запълване беше равен на две, тогава в спектъра ще останат само нечетни хармоници на основната честота.

От формула (2.22) и фиг. 2.14 следва, че коефициентите на редица висши хармоници на сигнала имат отрицателен знак. Това се дължи на факта, че началната фаза на тези хармоници е равна на стр.Следователно формула (2.22) обикновено се представя в модифициран вид:

С този запис на серията на Фурие стойностите на амплитудата на всички по-високи хармонични компоненти на графиката на спектралната диаграма са положителни (фиг. 2.15, А).

Амплитудният спектър на сигнала до голяма степен зависи от съотношението на периода на повторение Ти продължителност на импулса t и, т.е. от работен цикъл р.Честотното разстояние между съседни хармоници е равно на честотата на повторение на импулса с 1 = 2l/T. Ширината на лобовете на спектъра, измерена в честотни единици, е равна на 2π/tn, т.е. е обратно пропорционална на продължителността на импулса. Обърнете внимание, че за същата продължителност на импулса m и с увеличаване на не-


ориз. 2.15.

А- амплитуда;b- фаза

период на тяхното повторение Тосновната честота co намалява и спектърът става по-плътен.

Същата картина се наблюдава, ако продължителността на импулса t се съкрати и периодът остане непроменен Т.Амплитудите на всички хармоници намаляват. Това е проява на общия закон (принципа на неопределеността на В. Хайзенберг - принцип на несигурност)“,Колкото по-кратка е продължителността на сигнала, толкова по-широк е неговият спектър.


Фазите на компонентите се определят по формулата cp = arctg (bn/an).Тъй като тук коефициентите б„= 0, тогава

Къде m = 0, 1, 2,....

Съотношението (2.24) показва, че при изчисляването на фазите на спектралните компоненти имаме работа с математическа несигурност. За да го разкрием, нека се обърнем към формула (2.22), според която амплитудите на хармониците периодично променят знака в съответствие с промяната на знака на функцията sin(nco 1 x 1I /2). Промяната на знака във формула (2.22) е еквивалентна на изместване на фазата на тази функция с стр.Следователно, когато тази функцияположителна, хармонична фаза (p u = 2 tp,а когато е отрицателен - = (2т + 1 ) До(Фиг. 2.15, b). Имайте предвид, че въпреки че амплитудите на компонентите в спектъра на правоъгълните импулси намаляват с увеличаване на честотата (вижте фиг. 2.15, А),това разпадане е доста бавно (амплитудите намаляват обратно пропорционално на честотата). За предаване на такива импулси без изкривяване е необходима безкрайна честотна лента на комуникационния канал. За относително фини изкривявания граничната стойност на честотната лента трябва да бъде многократно по-голяма от обратната стойност на продължителността на импулса. Въпреки това, всички реални канали имат ограничена честотна лента, което води до изкривявания във формата на предаваните импулси.

Сериите на Фурие от произволни периодични сигнали могат да съдържат безкрайно голям брой членове. При изчисляване на спектрите на такива сигнали, изчисляването на безкрайната сума на серията на Фурие причинява определени трудности и не винаги се изисква, следователно ние сме ограничени до сумиране на краен брой термини (серията е „скъсена“).

Точността на апроксимацията на сигнала зависи от броя на сумираните компоненти. Нека разгледаме това, като използваме примера за приближение чрез сумата от първите осем хармоника на последователност от правоъгълни импулси (фиг. 2.16). Сигналът има формата на еднополюсен меандър с период на повторение товаамплитуда д= 1 и продължителност на импулса t и = Т/2 (специфичен сигнал - четна функция - Фиг. 2.16, А; работен цикъл р= 2). Приближението е показано на фиг. 2.16, b, а графиките показват броя на сумираните хармоници. При текущото приближаване на даден периодичен сигнал (виж фиг. 2.13) от тригонометричната серия (2.13), сумирането на първия и по-високите хармоници ще се извършва само върху нечетни коефициенти Puтъй като ако техните стойности и продължителност на импулса са четни, m и = Т/2 = = tm/co, стойността sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) става нула.


Тригонометричната форма на реда на Фурие (2.23) за даден сигнал има формата


ориз. 2.16.

А -подаден сигнал; 6 - междинни етапи на сумиране

За по-лесно представяне редът на Фурие (2.25) може да бъде написан опростено:

От формула (2.26) е очевидно, че хармониците, които апроксимират меандъра, са нечетни, имат редуващи се знаци и техните амплитуди са обратно пропорционални на числата. Обърнете внимание, че поредица от правоъгълни импулси не е подходяща за представяне чрез ред на Фурие - приближението съдържа вълни и скокове и сумата от произволен брой хармонични компоненти с всякакви амплитуди винаги ще бъде непрекъсната функция. Следователно поведението на реда на Фурие в близост до прекъсвания е от особен интерес. От графиките на фиг. 2.16, b е лесно да се види как с увеличаване на броя на сумираните хармоници, получената функция все повече се доближава до формата на оригиналния сигнал u(t)навсякъде с изключение на точките на счупването му. В близост до точките на прекъсване, сумирането на редицата на Фурие дава наклон, а наклонът на получената функция се увеличава с броя на сумираните хармоници. В самата точка на прекъсване (нека го обозначим като t = t 0)Редица на Фурие u(t 0)се сближава до половината от сумата на дясната и лявата граница:

В участъците на апроксимираната крива, съседни на прекъсването, сумата от серията дава забележими пулсации, а на фиг. 2.16 е ясно, че амплитудата на главния прилив на тези пулсации не намалява с увеличаване на броя на сумираните хармоници - тя се компресира само хоризонтално, приближавайки се до точката на прекъсване.

При п-? в точките на прекъсване амплитудата на изтласкване остава постоянна,

и ширината му ще бъде безкрайно тясна. Както относителната амплитуда на пулсациите (спрямо амплитудата на скока), така и относителното затихване не се променят; Променя се само честотата на пулсациите, която се определя от честотата на последните сумирани хармоници. Това се дължи на сходимостта на редовете на Фурие. Нека вземем класически пример: ще стигнете ли някога стената, ако изминете половината оставащо разстояние с всяка стъпка? Първата стъпка ще ви отведе до средата на пътя, втората ще ви отведе до три четвърти от пътя, а след петата стъпка ще изминете почти 97% от пътя. Почти сте там, но колкото и стъпки напред да направите, никога няма да го достигнете в строго математически смисъл. Можете само да докажете математически, че в крайна сметка ще можете да се доближите до всяко дадено разстояние, колкото и малко да е. Това доказателство би било еквивалентно на демонстриране, че сумата от числата е 1/2,1/4,1/8,1/16 и т.н. клони към единство. Това явление, присъщо на всички серии на Фурие за сигнали с прекъсвания от 1-ви вид (например скокове, както на фронтовете на правоъгълни импулси), се нарича Ефект на Гибс*. В този случай стойността на първия (най-голям) амплитуден скок в апроксимираната крива е около 9% от нивото на скок (виж фиг. 2.16, п = 4).

Ефектът на Гибс води до неотстранима грешка в апроксимацията на периодични импулсни сигнали с прекъсвания от 1-ви род. Ефектът възниква, когато има рязко нарушение на монотонността на функциите. При конни надбягвания ефектът е максимален, във всички останали случаи амплитудата на пулсациите зависи от естеството на нарушението на монотонността. За редица практически приложения ефектът на Гибс създава определени проблеми. Например в системите за възпроизвеждане на звук това явление се нарича „звънене“ или „мигане“. Освен това всеки остър съгласен или друг внезапен звук може да бъде придружен от кратък звук, който е неприятен за ухото.

Редът на Фурие може да се прилага не само към периодични сигнали, но и към сигнали с крайна продължителност. В този случай времето е посочено

крайния интервал, за който се конструира редът на Фурие, а в други моменти се разглежда сигналът равно на нула. За да се изчислят коефициентите на серия, този подход означава периодично продължениесигнал извън разглеждания интервал.

Имайте предвид, че природата (например човешкият слух) използва принципа на хармоничен анализ на сигнала. Човек извършва виртуална трансформация на Фурие всеки път, когато чуе звук: ухото автоматично извършва това, представяйки звука като спектър от последователни стойности на силата на звука за тонове с различна височина. Човешкият мозък превръща тази информация във възприет звук.

Хармоничен синтез. В теорията на сигнала, заедно с хармоничния анализ на сигналите, те широко използват хармоничен синтез- получаване на определени трептения със сложна форма чрез сумиране на редица хармонични компоненти на техния спектър. По същество синтезът на периодична последователност от правоъгълни импулси чрез сумата от редица хармоници беше извършен по-горе. На практика тези операции се извършват на компютър, както е показано на фиг. 2.16, b.

  • Жан Батист Жозеф Фурие (J.B.J. Fourier; 1768-1830) – френски математик и физик.
  • Джосая Гибс (J. Gibbs, 1839-1903) - американски физик и математик, един от основателите на химичната термодинамика и статистическата физика.