Conceptos básicos de lógica matemática. Fundamentos de lógica Operaciones lógicas. Conjunción

Plan de lección sobre el tema: "Cantidades lógicas, operaciones, expresiones" 10º grado

El propósito de la lección: formar conceptos en los estudiantes: enunciados lógicos, cantidades lógicas, operaciones lógicas.

Tareas:

Educativo: conceptos de forma: enunciado lógico, cantidades lógicas, operaciones lógicas.

De desarrollo: crear condiciones para el desarrollo del interés cognitivo de los estudiantes, promover el desarrollo de la memoria, la atención y el pensamiento lógico;

Educativo: Fomentar la capacidad de escuchar las opiniones de los demás y trabajar en equipo.

Tipo de lección:

Lección de estudio y consolidación primaria de nuevos conocimientos.

Plan de estudios.

II. Actualización - 3 min.

IV. Consolidación de los conocimientos adquiridos - 17 min.

V. Resumiendo la lección - 2 min.

durante las clases

I. Momento organizacional - 1 min.

II. Actualización - 3 min.

Lógicas(del griego "logos", que significa "palabra" y "significado") - la ciencia de las leyes, formas y operaciones del pensamiento correcto.

Su tarea principal es encontrar y sistematizar las formas correctas de razonamiento.

Ahora necesitamos algunas definiciones.

ÁLGEBRA DE LÓGICA – rama de la lógica matemática que estudia la estructura de declaraciones lógicas complejas y métodos para establecer su verdad utilizando métodos algebraicos.

OBJETOS estudiando lógica de álgebra: DECLARACIONES

Un enunciado lógico es una oración declarativa en la que se afirma o se niega algo y respecto de la cual se puede decir sin ambigüedades si es verdadero o falso.

No todas las declaraciones pueden ser una declaración. Por ejemplo, la siguiente declaración: “La malaquita es la piedra más hermosa de todas las gemas conocidas” No puede ser una afirmación, ya que es una cuestión de gustos.

III. Aprender material nuevo - 17 min.

Ejercicio 1.

¿Cuáles de las oraciones son declaraciones? Determinar su verdad?

1. París es la capital de Inglaterra. (MENTIR)

2. Escuche el mensaje.

3. ¿Quién falta?

4. El número 11 es primo. (VERDADERO)

5. Asigne un nombre al dispositivo de entrada de información.

6. 4 + 5=10. (MENTIR)

7. Ni siquiera puedes sacar un pez de un estanque sin dificultad.

8. Algunos osos viven en el norte. (VERDADERO)

9. Suma los números 2 y 5.

Declaraciones
Son comunes	Privado	Soltero
Comienzan con las palabras: todos, todos, todos, ninguno, cualquiera... Todos los peces pueden nadar	Comienza con palabras: algunos, la mayoría, muchos... Algunos osos son marrones.	Todos los demás casosLa letra A es vocal.

Hay afirmaciones de verdad o falsedad que no se pueden verificar. Por ejemplo: “Actualmente hay un solo árbol en el planeta Tierra que tiene exactamente 10.000 hojas”. Teóricamente esto se puede verificar, pero sólo teóricamente, ya que para tal verificación sería necesario utilizar demasiados inspectores, significativamente más que el número de personas que viven en el planeta.

Por tanto, la lógica matemática sólo estudia enunciados y sólo cómo determinar su verdad o falsedad.

La lógica matemática no examina el significado de los enunciados, de lo que se deduce que la formulación del enunciado no influye y basta con introducir una notación simple para el enunciado.

variable booleana- Esta es una declaración simple que contiene un solo pensamiento. Su designación simbólica: una letra latina.

El valor de una variable lógica sólo pueden ser las constantes VERDADERO y FALSO (1 y 0).

Declaraciones complejas. Operaciones lógicas

Anteriormente, hablamos solo de declaraciones simples, pero las declaraciones también pueden ser complejas y constar de varias simples. conectado por el conectivo lógico Y, O, NO

Por ejemplo, declaración compleja:

"El número 6 es divisible por 2 y el número 6 es divisible por 3".

“En verano iré al pueblo o de viaje turístico”

"El número 4 no es divisible por 3"

(pegue A y B encima de la primera oración)

(pegue A o B encima de la segunda oración)

(no pegue la A encima de la tercera oración)

En el primer ejemplo, una declaración compleja se construye a partir de dos simples usando una operación lógica: conjunción A^B,

en el segundo – disyunción AVB

en el tercero - negación

Conjunción (multiplicación lógica).

Expresado por la conjunción I.

Indicado por un signo (^ o &).

Se escribe A^B

El valor de dicha expresión será FALSO si al menos uno de los operandos es falso.

Disyunción (adición lógica).

Expresado por la conjunción OR.

Indicado por (V).

Se escribe A V B

El valor de dicha expresión será VERDADERO si al menos uno de los operandos es verdadero.

Inversión (negación)

Expresado por la partícula NO.

Indicado por un signo (-).

Escribe -A

El valor de dicha expresión será FALSO si el valor del operando A fuera verdadero y viceversa.

Ya ha encontrado elementos de lógica matemática en el curso básico de informática de la escuela, estudiando cómo escribir consultas en una base de datos y funciones condicionales. SI en hojas de cálculo, conceptos básicos de algoritmización y programación. Repasemos los conceptos básicos de la lógica para poder profundizar aún más tus conocimientos sobre su uso para la programación.

Los conceptos básicos de la lógica incluyen: declaración, valor lógico, operaciones lógicas, expresiones lógicas y fórmulas.

Declaración (sentencia) Es una oración declarativa en la que se afirma o se niega algo. Se puede decir que cualquier afirmación es verdadera o falsa.

Por ejemplo, la afirmación "Está lloviendo afuera" será verdadera o falsa dependiendo de las condiciones climáticas en este momento. La verdad del enunciado “El valor de A es mayor que B”, escrito en forma de desigualdad: A > B, dependerá de los valores de las variables A y B.

Valores lógicos- conceptos expresados ​​​​por palabras: VERDADERO, FALSO (verdadero, falso). Por eso, La verdad de los enunciados se expresa mediante cantidades lógicas..

Constante lógica: Verdadero o falso.

variable booleana: un valor lógico designado simbólicamente. En consecuencia, si se sabe que A, B, X, Y, etc. son cantidades lógicas variables, entonces significa que sólo pueden tomar los valores VERDADERO o FALSO.

expresión booleana- declaración simple o compleja. Una declaración compleja se construye a partir de declaraciones simples mediante operaciones lógicas (conexiones).

Operaciones lógicas

Conjunción (multiplicación lógica). En ruso, se expresa mediante la conjunción I. En lógica matemática se utilizan los signos & o ∧. La conjunción es una operación de dos lugares; escrito en la forma: A y B. El valor de dicha expresión será FALSO si el valor de al menos uno de los operandos es falso.

Disyunción (suma lógica). En ruso, este conectivo corresponde a la conjunción O. En lógica matemática se denota con el signo v. La disyunción es una operación de dos lugares; se escribe en la forma: A v B. El valor de dicha expresión será VERDADERO si el valor de al menos uno de los operandos es verdadero.

Negación. En ruso, este conectivo corresponde a la partícula NOT (en algunas afirmaciones se utiliza la frase "no es cierto que..."). La negación es una operación unaria (de un solo lugar); escrito en la forma: ¬ A o Â.

Las reglas para realizar las operaciones lógicas consideradas se reflejan en la siguiente tabla, que se denomina tabla de verdad de las operaciones lógicas (aquí I significa "verdadero", L significa "falso"):

Fórmula lógica- una fórmula que contiene únicamente cantidades lógicas y signos de operaciones lógicas. El resultado de evaluar una fórmula booleana es VERDADERO o FALSO.

La secuencia de operaciones en fórmulas lógicas está determinada por la precedencia de las operaciones. En orden de precedencia descendente, las operaciones lógicas se organizan de la siguiente manera: negación, conjunción, disyunción . Además, el orden de las operaciones se ve afectado por los paréntesis que se pueden utilizar en fórmulas booleanas.

Por ejemplo: (A y B) v (¬ A y B) v (¬ A y ¬ B).

Ejemplo. Calcular el valor de una fórmula lógica:

¬ X e Y frente a X y Z,

si las variables booleanas tienen los siguientes valores: X= FALSO, Y= VERDADERO, z= VERDADERO.

Solución. Marquemos con números encima el orden de las operaciones en la fórmula:

Usando la tabla de verdad calculamos la fórmula paso a paso:

1) FALSO = VERDADERO; 2) VERDADERO Y VERDADERO = VERDADERO; 3) FALSO Y VERDADERO = FALSO; 4) VERDADERO v FALSO = VERDADERO. Respuesta: VERDADERO.

Funciones lógicas en el rango de valores numéricos.

El álgebra de números se cruza con el álgebra de la lógica en los casos en que es necesario comprobar si los valores de las expresiones algebraicas pertenecen a un determinado conjunto. Por ejemplo, la pertenencia del valor de una variable numérica X al conjunto de números positivos se expresa mediante declaración: "X es mayor que cero." Simbólicamente, esto se escribe de la siguiente manera: X > 0. En álgebra, esta expresión se llama desigualdad. En lógica, una relación.

La relación X > 0 puede ser verdadera o falsa. Si X es positivo, entonces es verdadero; si X es negativo, entonces es falso. En general, la relación tiene la siguiente estructura:

< выражение 1 > < знак отношения > < выражение 2 >

Aquí las expresiones 1 y 2 son algunas expresiones matemáticas que toman valores numéricos. En un caso particular, una expresión puede representar una constante o una variable. Los signos de relación pueden ser los siguientes:

Entonces, una relación es una declaración simple y, por lo tanto, un valor lógico. Puede ser constante: 5 > 0 - siempre VERDADERO, 3 * 6: 2 - siempre FALSO; y la variable: a< b, х + 1 = с - d. Если в отношение входят переменные числовые величины, то и значение отношения будет логической переменной.

La proporción puede considerarse como una función lógica de los argumentos numéricos. Por ejemplo: F(x) = (x > 0) o P(x, y) = = (x< у). Аргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значения функции - на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.

Las funciones lógicas de argumentos numéricos también se llaman predicado. En los algoritmos, los predicados desempeñan el papel de condiciones mediante las cuales se construyen ramas y ciclos. Los predicados pueden ser funciones lógicas simples que no contienen operaciones lógicas o complejas que contienen operaciones lógicas.

Ejemplo 1. Escriba un predicado (función lógica) a partir de dos argumentos reales X e Y, que tomará el valor VERDADERO si un punto en el plano de coordenadas con coordenadas X e Y se encuentra dentro del círculo unitario centrado en el origen (figura 3.12).

De consideraciones geométricas queda claro que para todos los puntos que se encuentran dentro del círculo unitario, el valor de la siguiente función lógica será verdadero:

F(X,Y) = (X2 + Y2< 1).

Para los valores de coordenadas de los puntos que se encuentran en el círculo y fuera de él, el valor de la función F será falso.

Ejemplo 2. Escribe un predicado que tome el valor VERDADERO si un punto en el plano coordenado con coordenadas X e Y se encuentra dentro de un anillo con centro en el origen y radios R1 y R2.

Dado que los valores de R1 y R2 son cantidades variables, la función lógica deseada tendrá cuatro argumentos: X, Y, R1, R2. Son posibles dos situaciones:

1) R1 2< X 2 + У 2 < R2 2 и R1 < R2: R1 - внутренний радиус, R2 - внешний радиус;

2) R2 2< X 2 + У 2 < R1 2 и R2 < R1: R2 - внутренний радиус, R1 - внешний радиус.

Combinando ambas declaraciones con una disyunción y escribiéndolas de acuerdo con las reglas del álgebra lógica, obtenemos la siguiente función lógica:

F(X, Y, R1, R2) = (((X 2 + Y 2) > R1 2) & ((X 2 + Y 2)< R2 2) & R1 < R2) v (((X 2 + У 2) >R2 2) y ((X 2 + Y 2)< R1 2) & R2 < R1).

Ejemplo 3. Escriba un predicado que tome el valor VERDADERO si un punto en el plano coordenado con coordenadas X e Y se encuentra dentro de la figura delimitada por las líneas gruesas de la figura. 3.13.

La figura está limitada por tres límites descritos por las ecuaciones:

Y = -X - borde izquierdo, función lineal;

У = 1 - límite superior, constante;

Y = X 2 - límite derecho, parábola.

La región considerada es la intersección de tres semiplanos descritos por las desigualdades:

En puntos internos las tres relaciones son simultáneamente verdaderas. Por tanto, el predicado requerido tiene la forma:

F(X, Y) = (Y > -X) & (Y< 1) & (У >X2).

Expresiones lógicas en Pascal.

Ya se ha dicho que Pascal tiene un tipo de datos lógico.

Constantes lógicas: verdadero(verdadero), FALSO(mentir).

Variables booleanas: se describen con tipo Booleano.

Operaciones de relación: compara dos operandos y determina si la relación correspondiente entre ellos es verdadera o falsa. Signos de operaciones relacionales: = (igual),<>(no igual), > (mayor que),< (меньше), >= (mayor o igual a),<= (меньше или равно).

Operaciones lógicas: no- negación, y- multiplicación lógica (conjunción), o- suma lógica (disyunción), bien- exclusivo o. La tabla de verdad para estas operaciones (T - verdadero; F- FALSO):

expresión booleana puede consistir en constantes y variables lógicas, relaciones, operaciones lógicas. Una expresión booleana se evalúa como verdadera o falsa.

Por ejemplo, la fórmula lógica ¬ X & Y v X & Z en Pascal se escribirá como la siguiente expresión lógica:

no X y Y o X y z,

Dónde X, Y, Z- variables de tipo Booleano.

Las operaciones lógicas se organizan en el siguiente orden en orden descendente de precedencia (prioridad): 1) no, 2) y, 3) o, xor. Las operaciones relacionales tienen la prioridad más baja. Por lo tanto, si los operandos de una operación lógica son relaciones, deben estar entre paréntesis. Por ejemplo, la siguiente expresión lógica corresponde a la desigualdad matemática 1 ≤ X ≤ 50:

(1 <= Х) y(X<= 50)

Función lógica impar(x) adquiere el valor verdadero, si el valor del argumento entero X es extraño, de lo contrario - FALSO.

Para escribir correctamente una expresión lógica compleja (predicado), es necesario tener en cuenta las prioridades relativas de las operaciones aritméticas, lógicas y relacionales, ya que todas ellas pueden estar presentes en una expresión lógica. En orden de prioridad descendente, las operaciones se organizan en el siguiente orden.

1. Operaciones aritméticas: - (menos unario) *, / +, - 2. Operaciones lógicas: no y o, xor 3. Operaciones relacionales: =,<>, >, <, >=, <=

Observe nuevamente que en la expresión booleana correspondiente al predicado del Ejemplo 3:

(Y > -X) y(Y< 1) y(Y > X * X),

Las operaciones relacionales están entre paréntesis porque son más recientes que las operaciones lógicas y deben ejecutarse antes.

Preguntas y tareas

1. ¿Qué tipo de cantidad se obtiene al calcular la relación (desigualdad) entre números?

2. ¿Qué es un predicado? Dar ejemplos.

3. Escriba en el lenguaje del álgebra lógica funciones lógicas que tomarán el valor VERDADERO si las siguientes afirmaciones son verdaderas y FALSAS en caso contrario:

a) todos los números X, Y, Z son iguales entre sí; b) de los números X, Y, Z sólo dos son iguales; c) cada uno de los números X, Y, Z afirmativamente; d) solo uno de los números X, Y, Z afirmativamente; e) significados de los números X, Y, Z ordenados en orden ascendente.

4. Escribe todas las fórmulas obtenidas al resolver el problema anterior en forma de expresiones lógicas en Pascal.

5. Construya una tabla de verdad para una fórmula lógica:

¬X e Y frente a X y Z.

Explicación: en la tabla de verdad se deben calcular los valores de la fórmula para todas las variantes de los valores de las variables lógicas: X, Y, Z. Por lo tanto la tabla contendrá 2 3 = 8 filas y 4 columnas: valores X, Y, Z y el resultado. Puede agregar columnas adicionales a la tabla que contienen los resultados de operaciones intermedias.

6. Calcule los valores de las siguientes expresiones lógicas escritas en Pascal:

Explicaciones: impar(x)- la función lógica para determinar la paridad del argumento es igual a verdadero, si x es impar y es igual a FALSO, si x es par; trunca(x)- una función entera de un argumento real que devuelve el entero más cercano que no excede x en valor absoluto.

Programación de sucursales

1. Cantidades lógicas, operaciones, expresiones. Expresiones lógicas como condiciones en algoritmos cíclicos y de ramificación.

Para comprender el trabajo de los algoritmos cíclicos y de ramificación, considere el concepto de expresión lógica.

En algunos casos, la elección de una acción en el programa debería depender de cómo se relacionan entre sí los valores de algunas variables.

Por ejemplo, el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática se realiza de manera diferente según el discriminante (piense en matemáticas).

Como resultado de comparar los valores de dos expresiones, son posibles dos respuestas posibles: comparación verdadero o FALSO?

Por ejemplo:

2+3 > 3+1 - sí (verdadero)

0 < -5 - нет (ложно)

A las expresiones de este tipo las llamaremos expresiones lógicas.

Una expresión lógica, como una expresión matemática, se ejecuta (evalúa), pero el resultado no es un número, sino un valor lógico: verdadero o falso. Valor lógico- ésta es siempre la respuesta a la pregunta de si una determinada afirmación es verdadera.

Conocemos seis operaciones de comparación:

Usando estas operaciones componeremos expresiones lógicas. Además, las expresiones no necesariamente contienen sólo constantes, sino también variables.

La forma en que se realizan las operaciones relacionales para cantidades numéricas queda clara en las matemáticas. ¿Cómo se comparan las cantidades simbólicas? La relación "igual" es verdadera para dos cantidades simbólicas si sus longitudes son iguales y todos los símbolos correspondientes son iguales. Tenga en cuenta que el espacio también es un símbolo.

Las cantidades simbólicas también se pueden comparar en relaciones >,<, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.

"gato" = "gato"

"gato"< «лис»

"gato" > "casa"

Una expresión que consta de un valor lógico o una relación se denominará expresión lógica simple.

A menudo surgen problemas en los que no se utilizan condiciones individuales, sino un conjunto de condiciones (relaciones) interconectadas. Por ejemplo, en una tienda debes elegir zapatos cuyo tamaño sea r = 45, color color = blanco, precio no más de 400 rublos.

Otro ejemplo: un escolar descubrió que podía comprar una barra de chocolate si costaba 3 rublos. o 3 frotar. 50 kop.

En el primer ejemplo estamos tratando con tres relaciones conectadas por la conjunción “y” y la partícula “no”; en el segundo ejemplo estamos tratando con dos relaciones conectadas por la conjunción “o”. A tales condiciones las llamaremos compuesto, y para designarlos en el algoritmo aceptaremos utilizar conjunciones " Y", "o", "No", que consideraremos como signos de operaciones lógicas que permiten crear compuestos a partir de condiciones simples, así como se pueden crear expresiones algebraicas a partir de variables y constantes simples usando los signos +, -, etc.

Entonces las condiciones de nuestros ejemplos en el algoritmo pueden verse así:

primero:(r = 45) Y(color = blanco) Y (No(precio>400))

segundo:(precio=3) o(precio=3,5)

Una expresión que contiene operaciones lógicas se denominará expresión lógica compleja.

Combinar dos (o más) declaraciones en una usando la conjunción "y" se llama operación multiplicación lógica o conjunción .

Como resultado de la multiplicación lógica (conjunción), la verdad se obtiene si todas las expresiones lógicas son verdaderas.

La combinación de dos (o más) declaraciones usando la conjunción "o" se llama operación suma lógica o disyunción .

Como resultado de la suma (disyunción) lógica, la verdad se obtiene si al menos una expresión lógica es verdadera.

Agregar la partícula "no" a una declaración se llama operación negación lógica o inversión .

La negación invierte el valor de un valor lógico: No verdadero = falso; No falso = verdadero.

Si hay varias operaciones lógicas en una expresión lógica compleja, entonces surge la pregunta en qué orden las realizará la computadora. En orden de precedencia descendente, las operaciones lógicas se organizan en el siguiente orden:

negación ( No);

conjunción ( Y);

disyunción ( o).

Puede utilizar paréntesis en expresiones booleanas. Al igual que en las fórmulas matemáticas, los paréntesis afectan la secuencia de operaciones. Si no hay paréntesis, las operaciones se realizan en orden de prioridad.

Ejemplo. Sean a, b, c valores lógicos que tienen los siguientes significados: a = verdadero, b = falso, c = verdadero. Es necesario determinar los resultados del cálculo de las siguientes expresiones lógicas:

a Y b

a o b

No a o b

a Y b o C

a o b Y C

No a o b Y C

(a o b) Y(Con o b)

No(a o b) Y(Con o b)

No(a Y b Y C)

Como resultado obtenemos:

Ejemplo. Crea un algoritmo para calcular:

Algoritmo Calcular x

Comenzar
entrada(a,c)
si (4*a – c >=0) y (a<>0) entonces
Comenzar
x:= raíz(4*a – c)/(2*a)
salida(x)
fin
de lo contrario
conclusión (“sin solución”)
fin

La computadora primero verificará la condición (4*a - c >=0) y (a<>0) y si resulta ser cierto entonces calcula x, de lo contrario mostrará el mensaje “sin solución”.

Ejemplo. Crea un algoritmo para calcular la suma de todos los números del 1 al n.

Algoritmo Calculando la suma de números.
variables a, c, x - reales
Comenzar
entrada(n)
x:= 1
adios x Comenzar
s:= s+x
x:= x+1
fin
salida(s)
fin

Mientras la condición x

Declaración (sentencia) - Es una oración declarativa que afirma o niega algo. Se puede decir que cualquier afirmación es verdadera o falsa. Por ejemplo:

“El hielo es el estado sólido del agua” es una afirmación cierta.

“Un triángulo es una figura geométrica” es una afirmación cierta.

“París es la capital de China” es una afirmación falsa.

6 < 5 - ложное высказывание.

Valores lógicos: conceptos expresados ​​​​por palabras: VERDADERO, FALSO (verdadero, falso). En consecuencia, la verdad de los enunciados se expresa mediante cantidades lógicas.

Constante lógica: Verdadero o falso.

variable booleana: un valor lógico designado simbólicamente. Por tanto, si se sabe que A, B, X, Y y etc. - cantidades lógicas variables, esto significa que solo pueden tomar los valores VERDADERO o FALSO.

expresión booleana- declaración simple o compleja. Una declaración compleja se construye a partir de declaraciones simples mediante operaciones lógicas (conexiones).

Operaciones lógicas. En lógica matemática se definen cinco operaciones lógicas básicas: conjunción, disyunción, negación, implicación, equivalencia. Los tres primeros son un sistema completo de operaciones, Como resultado, a través de ellos se pueden expresar otras operaciones (normalizadas). En informática, estas tres operaciones se utilizan habitualmente.

Conjunción(multiplicación lógica). En ruso, se expresa mediante la conjunción I. En lógica matemática, se utilizan los signos. & o . La conjunción es una operación de dos lugares; se escribe como: A EN. El valor de dicha expresión será FALSO si el valor de al menos uno de los operandos es falso.

Disyunción ( suma lógica). En ruso, este conectivo corresponde a la conjunción O. En lógica matemática se denota con el signo v. La disyunción es una operación de dos lugares; se escribe como: A v EN. El valor de dicha expresión será VERDADERO si el valor de al menos uno de los operandos es verdadero.

Negación. En ruso, este conectivo corresponde a la partícula NOT (en algunas afirmaciones se utiliza la frase "no es cierto que..."). La negación es una operación unaria (de un solo lugar); se escribe como: Una o .

Fórmula lógica (expresión lógica) - una fórmula que contiene sólo cantidades lógicas y signos de operaciones lógicas. El resultado de evaluar una fórmula booleana es VERDADERO o FALSO.

Ejemplo 1. Considere la afirmación compleja: "El número 6 es divisible por 2 y el número 6 es divisible por 3". Presente esta afirmación en forma de fórmula lógica. Denotemos por A una simple afirmación “el número 6 es divisible por 2”, y mediante EN una simple afirmación "el número 6 es divisible por 3". Entonces la fórmula lógica correspondiente queda así: A& EN. Evidentemente, su significado es VERDADERO. Ejemplo 2. Considere la compleja afirmación: "En el verano iré al pueblo o haré un viaje turístico".

Denotemos por A una simple afirmación “en el verano iré al pueblo”, y a través de EN- una simple afirmación "en el verano haré un viaje turístico". Entonces la forma lógica del enunciado complejo tiene la forma

Ejemplo 3. Considere la afirmación: "No es cierto que 4 sea divisible por 3".

Denotemos por A una declaración simple: "4 es divisible por 3". Entonces la forma lógica de la negación de este enunciado tiene la forma A

Las reglas para realizar operaciones lógicas se reflejan en la siguiente tabla, que se denomina tabla de verdad.

La secuencia de operaciones en fórmulas lógicas está determinada por la precedencia de las operaciones. En orden de precedencia descendente, las operaciones lógicas se organizan de la siguiente manera: negaciones, conjunción, disyunción. Además, el orden de las operaciones se ve afectado por los paréntesis que se pueden utilizar en fórmulas booleanas.

Aplicaciones de la lógica matemática en el curso básico.

Lógica matemática en bases de datos. Al estudiar un curso básico de informática, los estudiantes encuentran por primera vez elementos de lógica matemática en el tema "Bases de datos" (DB). En las bases de datos relacionales, los valores lógicos son campos de tipo lógico. El tipo booleano se utiliza junto con otros tipos de campos y los estudiantes deben aprender a distinguirlo.

El primer concepto de cantidad lógica se puede dar como respuesta a una pregunta alternativa. Por ejemplo: "¿Este libro está disponible en la biblioteca?" o “¿Ha ingresado el solicitante a la universidad?” o “¿Está lloviendo afuera?” etcétera. Las respuestas a estas preguntas sólo pueden ser “sí” o “no”. Los sinónimos son "verdadero", "falso"; "verdadero Falso". Si un campo de tabla acepta sólo dichos valores, se le asigna un tipo booleano.

Por ejemplo, la base de datos relacional OPTIONS contiene información sobre la asistencia de los estudiantes a tres materias optativas: geología, floricultura y danza. En lenguaje relacional, su estructura se describe de la siguiente manera:

OPCIONALES (ALUMNO. GEOLOGÍA, FLORICULTURA, DANZA)

Los campos GEOLOGÍA, FLORICULTURA y DANZA serán de tipo booleano. Un valor VERDADERO para cada campo indica que el estudiante asiste a esa materia optativa y un valor FALSO indica que el estudiante no asiste.

Las expresiones booleanas se utilizan en consultas de bases de datos como términos de búsqueda. Las expresiones lógicas se dividen en simples y complejas. Las expresiones simples siempre usan solo un campo de tabla y no usan operaciones lógicas. Las expresiones lógicas complejas utilizan operaciones lógicas. Una expresión booleana simple es el nombre de un campo booleano o actitud(en matemáticas dicen “desigualdad”). Las relaciones para cantidades numéricas conservan el significado de desigualdades matemáticas; Al calcular relaciones para cantidades simbólicas, se tiene en cuenta el orden lexicográfico; las fechas se comparan en orden de secuencia de calendario.

El principal problema es enseñar a los estudiantes a representar formalmente los términos de búsqueda en forma de expresiones lógicas. Por ejemplo, de la frase “buscar todos los libros encima del quinto estante” es necesario pasar a una expresión lógica: ESTANTE > 5; o la condición “seleccionar a todos los que reprobaron en física” se presenta en la forma: FÍSICA< 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь».

Se debe prestar especial atención al uso de campos booleanos en las condiciones de búsqueda. No se les suele tratar con relaciones. Un campo booleano en sí mismo lleva un valor booleano: "verdadero" o "falso". Por ejemplo, la condición "seleccionar todos los estudiantes que asisten a bailes" estará representada por un único campo lógico llamado BAILES.

Las expresiones lógicas complejas contienen operaciones lógicas. Se consideran tres operaciones básicas de la lógica matemática: conjunción (Y), disyunción (O), negación (NO).

Por lo general, al explicar este tema, el profesor parte del significado semántico de las declaraciones en ruso que contienen las conjunciones Y, O y la partícula NO. Por ejemplo, la afirmación: “Hoy habrá un examen de álgebra Y física” es verdadera si se realizan ambos exámenes y falsa si al menos uno no se realiza. Otra afirmación: “Hoy habrá una prueba de álgebra O física” será cierta si se realiza al menos una prueba. Y finalmente, la afirmación: “Hoy NO habrá prueba” es verdadera si no hay prueba, es decir, si la afirmación de que hoy habrá prueba resulta falsa. A partir de tales ejemplos, el profesor saca conclusiones sobre las reglas para realizar operaciones lógicas: Si A y B - valores lógicos, entonces la expresión

A y B verdadero sólo si ambos operandos son verdaderos;

A o EN falso sólo si ambos operandos son falsos;

No A cambia el valor de un valor lógico al opuesto: no verdadero - falso; no es una mentira, la verdad.