Cum se transformă un cuvânt în cod binar. Descifrarea codului binar: instrumente online, acolo unde este cazul. numere întregi mari și numere cu semn
Calculatoarele nu înțeleg cuvintele și numerele așa cum le înțeleg oamenii. Modern software permite utilizatorului final să ignore acest lucru, dar cel mult niveluri scăzute computerul dumneavoastră operează pe un semnal electric binar care are doar două stări: dacă există curent sau nu. Pentru a „înțelege” datele complexe, computerul trebuie să le codifice în format binar.
Sistemul binar se bazează pe două cifre, 1 și 0, corespunzătoare stărilor de pornire și oprire pe care computerul le poate înțelege. Probabil că sunteți familiarizat cu sistemul zecimal. Folosește zece cifre, de la 0 la 9, apoi trece la următoarea ordine pentru a forma numere din două cifre, fiecare număr fiind de zece ori mai mare decât cel anterior. Sistemul binar este similar, fiecare cifră fiind de două ori mai mare decât cea anterioară.
Numărarea în format binar
În expresia binară, prima cifră este echivalentă cu 1 în sistemul zecimal. A doua cifră este 2, a treia este 4, a patra este 8 și așa mai departe - dublându-se de fiecare dată. Adăugarea tuturor acestor valori vă va oferi numărul în format zecimal.
1111 (în binar) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 (în zecimală)
Contabilizarea pentru 0 ne oferă 16 valori posibile pentru patru biți binari. Mutați 8 biți și obțineți 256 de valori posibile. Acest lucru ocupă mult mai mult spațiu pentru a reprezenta, deoarece patru cifre zecimale ne oferă 10.000 de valori posibile. Desigur, codul binar ocupă mai mult spațiu, dar computerele înțeleg fișierele binare mult mai bine decât sistemul zecimal. Și pentru unele lucruri, cum ar fi procesarea logică, binarul este mai bun decât zecimalul.
Trebuie spus că mai există și alta sistem de bază, care este folosit în programare: hexazecimal. Deși computerele nu funcționează în format hexazecimal, programatorii îl folosesc pentru a reprezenta adrese binare într-un format care poate fi citit de om atunci când scriu cod. Acest lucru se datorează faptului că două cifre ale unui număr hexazecimal pot reprezenta un octet întreg, ceea ce înseamnă că înlocuiesc opt cifre în binar. Sistemul hexazecimal folosește numerele 0-9, precum și literele de la A la F, pentru a crea șase cifre suplimentare.
De ce computerele folosesc fișiere binare?
Raspuns scurt: hardwareși legile fizicii. Fiecare caracter din computerul tău este un semnal electric, iar în primele zile ale calculului, măsurarea semnalelor electrice era mult mai dificilă. Era mai logic să distingem doar starea „pornit”, reprezentată de sarcina negativă, și starea „oprit”, reprezentată de sarcina pozitiva.
Pentru cei care nu știu de ce „off” este reprezentat de o sarcină pozitivă, deoarece electronii au o sarcină negativă, iar mai mulți electroni înseamnă mai mult curent cu o sarcină negativă.
Astfel, timpuriu computere de dimensiunea camerei utilizate fișiere binare pentru a-și crea sistemele și, deși au folosit echipamente mai vechi și mai voluminoase, au lucrat pe aceleași principii fundamentale. Calculatoarele moderne folosesc ceea ce se numește tranzistor pentru a efectua calcule cu cod binar.
Iată o diagramă a unui tranzistor tipic:
În esență, permite curentului să curgă de la sursă la scurgere dacă există curent în poartă. Aceasta formează o cheie binară. Producătorii pot face aceste tranzistoare incredibil de mici – până la 5 nanometri sau dimensiunea a două fire de ADN. Acesta este modul în care funcționează procesoarele moderne și chiar și ei pot suferi de probleme în a distinge între stările pornit și oprit (deși acest lucru se datorează dimensiunii lor moleculare nereale fiind supusă la ciudățenia mecanicii cuantice).
De ce numai sistem binar
Deci s-ar putea să vă gândiți: „De ce doar 0 și 1? De ce să nu adaugi un alt număr? Deși acest lucru se datorează parțial tradițiilor de a crea computere, în același timp, adăugarea unei alte cifre ar însemna necesitatea de a distinge o altă stare a curentului, și nu doar „oprit” sau „pornit”.
Problema aici este că, dacă doriți să utilizați mai multe niveluri de tensiune, aveți nevoie de o modalitate de a efectua cu ușurință calcule pe ele, iar hardware-ul actual capabil de acest lucru nu este viabil ca înlocuitor pentru calculele binare. De exemplu, există un așa-numit computer triplu, dezvoltat în anii 1950, dar dezvoltarea s-a oprit aici. Logica ternară mai eficient decât binarul, dar nu încă înlocuire eficientă Nu există tranzistori binar sau cel puțin nu există tranzistori pe aceeași scară mică ca și cei binari.
Motivul pentru care nu putem folosi logica ternară se rezumă la modul în care tranzistorii sunt conectați la un computer și modul în care sunt utilizați pentru calcule matematice. Tranzistorul primește informații la două intrări, efectuează o operație și returnează rezultatul la o ieșire.
Astfel, matematica binară este mai ușoară pentru un computer decât orice altceva. Logica binară este ușor convertită în sisteme binare, cu adevărat și fals corespunzând stărilor On și Off.
Un tabel de adevăr binar care rulează pe logica binară va avea patru ieșiri posibile pentru fiecare operație fundamentală. Dar, deoarece porțile triple folosesc trei intrări, tabelul de adevăr triplu ar avea 9 sau mai multe. În timp ce sistemul binar are 16 operatori posibili (2^2^2), sistemul ternar ar avea 19683 (3^3^3). Scalarea devine o problemă deoarece, deși trinity este mai eficientă, este și exponențial mai complexă.
Cine ştie?În viitor, s-ar putea să vedem computerele ternare ca logica binară se confruntă cu provocări de miniaturizare. Deocamdată, lumea va continua să funcționeze în modul binar.
Toată lumea știe că computerele pot efectua calcule pe grupuri mari de date la viteză enormă. Dar nu toată lumea știe că aceste acțiuni depind doar de două condiții: dacă există sau nu curent și ce tensiune.
Cum reușește un computer să prelucreze o asemenea varietate de informații?
Secretul constă în sistemul de numere binar. Toate datele intră în computer, prezentate sub formă de unu și zero, fiecare dintre ele corespunde unei stări a firului electric: unii - tensiune înaltă, zerouri - joasă sau unii - prezența tensiunii, zerouri - absența acesteia. Convertirea datelor în zerouri și unu se numește conversie binară, iar desemnarea sa finală se numește cod binar.
În notație zecimală bazată pe sistemul numeric zecimal utilizat în viata de zi cu zi, o valoare numerică este reprezentată de zece cifre de la 0 la 9, iar fiecare loc din număr are o valoare de zece ori mai mare decât locul din dreapta acestuia. Pentru a reprezenta un număr mai mare de nouă în sistemul zecimal, un zero este plasat în locul lui, iar unul este plasat în următorul loc, mai valoros, din stânga. În mod similar, în sistemul binar, care utilizează doar două cifre - 0 și 1, fiecare loc este de două ori mai valoros decât locul din dreapta acestuia. Astfel, în codul binar doar zero și unu pot fi reprezentate ca numere simple, iar orice număr mai mare decât unu necesită două locuri. După zero și unu, următoarele trei numere binare sunt 10 (se citesc unu-zero) și 11 (se citesc unu-unu) și 100 (se citesc unu-zero-zero). 100 sistem binar echivalent cu 4 zecimale. Tabelul de sus din dreapta arată alte echivalente BCD.
Orice număr poate fi exprimat în binar, doar ocupă mai mult spațiu decât în zecimal. Alfabetul poate fi scris și în sistemul binar dacă fiecărei litere i se atribuie un anumit număr binar.
Două cifre pentru patru locuri
Se pot face 16 combinații folosind bile întunecate și luminoase, combinându-le în seturi de câte patru Dacă bile întunecate sunt luate ca zerouri și bile luminoase ca unități, atunci 16 seturi se vor dovedi a fi un cod binar de 16 unități, valoarea numerică a. care este de la zero la cinci (vezi tabelul de sus de la pagina 27). Chiar și cu două tipuri de bile în sistemul binar, un număr infinit de combinații pot fi construite pur și simplu prin creșterea numărului de bile din fiecare grup - sau a numărului de locuri în numere.
Biți și octeți
Cea mai mică unitate din prelucrare computerizată Un bit este o unitate de date care poate avea una dintre cele două condiții posibile. De exemplu, fiecare dintre cele și zerouri (în dreapta) reprezintă 1 bit. Un bit poate fi reprezentat în alte moduri: prin prezență sau absență curent electric, o gaură și absența ei, direcția de magnetizare la dreapta sau la stânga. Opt biți formează un octet. 256 de octeți posibili pot reprezenta 256 de caractere și simboluri. Multe computere procesează câte un octet de date odată.
Conversie binară. Codul binar din patru cifre poate reprezenta numere zecimale de la 0 la 15.
Tabelele de coduri
Atunci când codul binar este folosit pentru a reprezenta literele alfabetului sau semnele de punctuație, sunt necesare tabele de coduri care indică codul care corespunde cărui caracter. Au fost compilate mai multe astfel de coduri. Majoritatea computerelor sunt echipate cu un cod din șapte cifre numit ASCII sau american cod standard pentru schimbul de informații. Tabelul din dreapta arată codurile ASCII pentru alfabetul englez. Alte coduri sunt pentru mii de caractere și alfabete din alte limbi ale lumii.
Parte dintr-un tabel de coduri ASCII
Această lecție va acoperi subiectul „Codificarea informațiilor. Codare binară. Unitățile de măsură ale informațiilor.” În timpul acestuia, utilizatorii vor putea înțelege codificarea informațiilor, modul în care computerele percep informațiile, unitățile de măsură și codificarea binară.
Subiect:Informații din jurul nostru
Lecția: Codarea informațiilor. Codare binară. Unități de informații
Această lecție va acoperi următoarele întrebări:
1. Codificarea ca schimbare a formei de prezentare a informațiilor.
2. Cum recunoaște un computer informațiile?
3. Cum se măsoară informația?
4. Unităţi de măsură a informaţiei.
În lumea codurilor
De ce codifică oamenii informațiile?
1. Ascundeți-l de alții (criptografia în oglindă a lui Leonardo da Vinci, criptare militară).
2. Notează informațiile pe scurt (scurtizare, abreviere, indicatoare rutiere).
3. Pentru procesare și transmitere mai ușoară (cod Morse, traducere în semnale electrice - coduri mașină).
Codificarea este reprezentarea informațiilor folosind un anumit cod.
Cod este un sistem de simboluri pentru prezentarea informațiilor.
Metode de codificare a informațiilor
1. Grafic (vezi Fig. 1) (folosind desene și semne).
Orez. 1. Sistem de semnalizare (Sursă)
2. Numeric (folosind numere).
De exemplu: 11001111 11100101.
3. Simbolic (folosind simboluri alfabetice).
De exemplu: NKMBM CHGYOU.
Decodare - aceasta este o acțiune de restabilire a formei inițiale de prezentare a informațiilor. Pentru a decoda, trebuie să cunoașteți codul și regulile de codificare.
Mijlocul de codificare și decodare este tabelul de corespondență de cod. De exemplu, potrivirea în diverse sisteme numărul - 24 - XXIV, corespondența alfabetului cu orice simboluri (Fig. 2).
Orez. 2. Exemplu de cifrare (Sursa)
Exemple de codificare a informațiilor
Un exemplu de codificare a informațiilor este codul Morse (vezi Figura 3).
Orez. 3. Cod Morse ()
Codul Morse folosește doar 2 simboluri - un punct și o liniuță (sunet scurt și lung).
Un alt exemplu de codificare a informațiilor este alfabetul steag (vezi Fig. 4).
Orez. 4. Alfabetul steagului ()
Un alt exemplu este alfabetul steagurilor (vezi Fig. 5).
Orez. 5. ABC-ul steagurilor ()
Un exemplu binecunoscut de codificare este alfabetul muzical (vezi Fig. 6).
Orez. 6. Alfabetul muzical ()
Luați în considerare următoarea problemă:
Folosind tabelul alfabetului steagurilor (vezi Fig. 7), este necesar să rezolvați următoarea problemă:
Orez. 7
Senior Lom îi trece examenul căpitanului Vrungel. Ajutați-l să citească următorul text (vezi Figura 8):
Există în principal două semnale în jurul nostru, de exemplu:
Semafor: rosu - verde;
Întrebare: da - nu;
Lampa: aprins - stins;
Este posibil - nu este posibil;
Bun - rău;
Adevărul este o minciună;
Înainte - înapoi;
Da - nu;
Toate acestea sunt semnale care indică cantitatea de informații pe 1 bit.
1 bit - aceasta este cantitatea de informații care ne permite să alegem o opțiune din două posibile.
Calculator este o mașină electrică care funcționează circuite electronice. Pentru ca computerul să recunoască și să înțeleagă informațiile introduse, acestea trebuie traduse în limbajul computerului (mașină).
Algoritmul destinat interpretului trebuie să fie scris, adică codificat, într-un limbaj înțeles de computer.
Acestea sunt semnale electrice: curentul trece sau curentul nu trece.
Limbajul binar al mașinii - o secvență de „0” și „1”. Fiecare număr binar poate avea valoarea 0 sau 1.
Fiecare cifră a unui cod binar de mașină poartă o cantitate de informații egală cu 1 bit.
Se numește numărul binar care reprezintă cea mai mică unitate de informație b ea . Un bit poate lua valoarea fie 0, fie 1. Prezența unui semnal magnetic sau electronic într-un computer înseamnă 1, absența lui 0.
Se numește un șir de 8 biți b IT . Computerul procesează acest șir ca un caracter separat (număr, literă).
Să ne uităm la un exemplu. Cuvântul ALICE este format din 5 litere, fiecare dintre acestea fiind reprezentată în limbajul computerului printr-un octet (vezi Fig. 10). Prin urmare, Alice poate fi măsurată ca 5 octeți.
Orez. 10. Cod binar (sursa)
Pe lângă biți și octeți, există și alte unități de informație.
Referințe
1. Bosova L.L. Informatica si TIC: manual pentru clasa a V-a. - M.: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2012.
2. Bosova L.L. Informatica: Caiet de lucru pentru clasa a V-a. - M.: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2010.
3. Bosova L.L., Bosova A.Yu. Lecții de informatică în clasele 5-6: Manual metodic. - M.: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2010.
2. Festivalul " Lecție deschisă" ().
Teme pentru acasă
1. §1.6, 1.7 (Bosova L.L. Informatica si TIC: Manual pentru clasa a 5-a).
2. Pagina 28, sarcinile 1, 4; p. 30, sarcinile 1, 4, 5, 6 (Bosova L.L. Informatică și TIC: Manual pentru clasa a 5-a).
Sensul termenului „binar” este că acesta constă din două părți sau componente. Astfel, codurile binare sunt coduri care constau doar din două stări simbolice, precum negru sau alb, lumină sau întuneric, conductor sau izolator. Un cod binar în tehnologia digitală este o modalitate de reprezentare a datelor (numere, cuvinte și altele) ca o combinație de două caractere, care pot fi desemnate ca 0 și 1. Caracterele sau unitățile BC se numesc biți. Una dintre justificările pentru utilizarea BC este simplitatea și fiabilitatea stocării informațiilor pe orice mediu sub forma unei combinații a doar două dintre stările sale fizice, de exemplu, sub forma unei schimbări sau constante a fluxului de lumină atunci când citirea de pe un disc cu cod optic.
Există diferite posibilități de codificare a informațiilor.
Cod binar
În tehnologia digitală, o metodă de reprezentare a datelor (numere, cuvinte și altele) ca o combinație de două caractere, care pot fi desemnate ca 0 și 1. Semnele sau unitățile DC se numesc biți.
Una dintre justificările pentru utilizarea DC este simplitatea și fiabilitatea stocării informațiilor pe orice mediu sub forma unei combinații a doar două dintre stările sale fizice, de exemplu, sub forma unei schimbări sau constante a fluxului magnetic în o celulă dată a mediului de înregistrare magnetică.
Cel mai mare număr care poate fi exprimat în binar depinde de numărul de cifre utilizate, adică. asupra numărului de biți din combinația care exprimă numărul. De exemplu, pentru a exprima valorile numerice de la 0 la 7, este suficient să aveți un cod de 3 cifre sau 3 biți:
| valoare numerică | cod binar |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Din aceasta putem observa că pentru un număr mai mare de 7 cu un cod din 3 cifre nu mai există combinații de coduri de 0 și 1.
Trecerea de la numere la mărimi fizice, să formulăm afirmația de mai sus într-o formă mai generală: cel mai mare număr de valori m din orice mărime (temperatura, tensiune, curent etc.), care poate fi exprimat în cod binar, depinde de numărul de biți utilizați n ca m=2n. Dacă n=3, ca în exemplul luat în considerare, atunci obținem 8 valori, inclusiv primul 0.
Codul binar este un cod în mai mulți pași. Aceasta înseamnă că la trecerea de la o poziție (valoare) la alta, mai mulți biți se pot schimba simultan. De exemplu, numărul 3 în codul binar = 011. Numărul 4 în codul binar = 100. În consecință, atunci când treceți de la 3 la 4, toți cei 3 biți își schimbă starea în opus simultan. Citirea unui astfel de cod de pe un disc de cod ar duce la faptul că, din cauza abaterilor inevitabile (toleranțe) în timpul producerii unui disc de cod, o modificare a informațiilor de la fiecare piesă separat nu va avea loc niciodată simultan. Acest lucru, la rândul său, ar duce la faptul că atunci când se trece de la un număr la altul, informații incorecte ar fi furnizate pe scurt. Deci, în timpul tranziției menționate mai sus de la numărul 3 la numărul 4, o ieșire pe termen scurt a numărului 7 este foarte probabilă atunci când, de exemplu, cel mai semnificativ bit din timpul tranziției și-a schimbat valoarea puțin mai devreme decât restul . Pentru a evita acest lucru, se folosește un așa-numit cod într-un singur pas, de exemplu așa-numitul Cod Gri.
Cod gri
Codul gri este un așa-numit cod într-un singur pas, adică. Când treceți de la un număr la altul, doar unul dintre toate biții de informații se schimbă întotdeauna. O eroare la citirea informațiilor de pe un disc de cod mecanic la trecerea de la un număr la altul va duce doar la faptul că trecerea de la o poziție la alta va fi doar ușor deplasată în timp, dar emiterea unei valori de poziție unghiulară complet incorectă atunci când trecerea dintr-o poziție în alta este complet eliminată.
Un alt avantaj al Grey Code este capacitatea sa de a oglindi informații. Deci, inversând bitul cel mai semnificativ, puteți schimba pur și simplu direcția de numărare și, astfel, puteți potrivi direcția reală (fizică) de rotație a axei. Schimbarea direcției de numărare în acest fel poate fi schimbată cu ușurință prin controlul așa-numitei intrări „Complement”. Valoarea de ieșire poate fi astfel crescătoare sau descrescătoare pentru aceeași direcție fizică de rotație a axei.
Deoarece informațiile exprimate în codul gri sunt codificate în mod pur și nu poartă informații numerice reale, trebuie mai întâi convertite într-un cod binar standard înainte de procesarea ulterioară. Acest lucru se realizează folosind un convertor de cod (decodor Gray-Binar), care, din fericire, este ușor de implementat folosind un circuit de elemente logice exclusive sau (XOR), atât în software, cât și în hardware.
Numerele zecimale corespunzătoare în intervalul de la 0 la 15 la coduri binare și gri
| Codare binară | Codare gri |
||||
| Cod zecimal |
Valoare binară | Şaisprezece sens | Cod zecimal | Valoare binară | Şaisprezece sens |
| 0 | 0000 | 0h | 0 | 0000 | 0h |
| 1 | 0001 | 1h | 1 | 0001 | 1h |
| 2 | 0010 | 2h | 3 | 0011 | 3h |
| 3 | 0011 | 3h | 2 | 0010 | 2h |
| 4 | 0100 | 4h | 6 | 0110 | 6h |
| 5 | 0101 | 5h | 7 | 0111 | 7h |
| 6 | 0110 | 6h | 5 | 0101 | 5h |
| 7 | 0111 | 7h | 4 | 0100 | 4h |
| 8 | 1000 | 8h | 12 | 1100 | Ch |
| 9 | 1001 | 9h | 13 | 1101 | Dh |
| 10 | 1010 | Ah | 15 | 1111 | Fh |
| 11 | 1011 | Bh | 14 | 1110 | Eh |
| 12 | 1100 | Ch | 10 | 1010 | Ah |
| 13 | 1101 | Dh | 11 | 1011 | Bh |
| 14 | 1110 | Eh | 9 | 1001 | 9h |
| 15 | 1111 | Fh | 8 | 1000 | 8h |
Convertirea codului Gray în codul binar obișnuit se poate face folosind schema simpla cu invertoare și elemente logice„exclusiv sau” după cum se arată mai jos:
Cod Gri-Exces
Codul Gray obișnuit într-un singur pas este potrivit pentru rezoluțiile care pot fi reprezentate ca un număr ridicat la puterea lui 2. În cazurile în care este necesară implementarea altor permisiuni, secțiunea din mijloc este tăiată din codul Gray obișnuit și utilizată. În acest fel, codul rămâne „un singur pas”. Cu toate acestea, intervalul numeric nu începe de la zero, ci este deplasat cu o anumită valoare. La procesarea informațiilor, jumătate din diferența dintre rezoluția originală și cea redusă este scăzută din semnalul generat. Rezoluții precum 360? pentru a exprima un unghi sunt adesea implementate prin această metodă. Deci un cod Gray de 9 biți egal cu 512 pași, tăiat pe ambele părți cu 76 de pași, va fi egal cu 360°.
Aryabhata
chirilic
greacă
etiopian
evreiesc
Akshara-sankhya
egiptean
etrusc
român
Dunărea
Kipu
Mayan
Egee
Simboluri KPPU
Sistem de numere binar- sistem de numere poziționale cu baza 2. Datorită implementării sale directe în circuitele electronice digitale folosind porți logice, sistemul binar este utilizat în aproape toate calculatoarele moderne și alte dispozitive electronice de calcul.
Notarea binară a numerelor
În sistemul de numere binar, numerele sunt scrise folosind două simboluri ( 0 Şi 1 ). Pentru a evita confuzia cu privire la sistemul numeric în care este scris numărul, acesta este prevăzut cu un indicator în partea dreaptă jos. De exemplu, un număr din sistemul zecimal 5 10 , în binar 101 2 . Uneori, un număr binar este notat prin prefix 0b sau simbol & (ampersand), De exemplu 0b101 sau în consecință &101 .
În sistemul de numere binar (ca și în alte sisteme de numere, cu excepția celor zecimale), cifrele sunt citite pe rând. De exemplu, numărul 101 2 se pronunță „unu zero unu”.
Numerele naturale
Un număr natural scris în sistem de numere binar ca (a n - 1 a n - 2 … a 1 a 0) 2 (\displaystyle (a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_(0))_(2)), are sensul:
(a n - 1 a n - 2 … a 1 a 0) 2 = ∑ k = 0 n - 1 a k 2 k , (\displaystyle (a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_( 0))_(2)=\sum _(k=0)^(n-1)a_(k)2^(k),)Numerele negative
Numerele binare negative sunt notate în același mod ca numerele zecimale: printr-un semn „-” în fața numărului. Și anume, un întreg negativ scris în sistem de numere binar (− a n - 1 a n - 2 … a 1 a 0) 2 (\displaystyle (-a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_(0))_(2)), are valoarea:
(− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k .(\displaystyle (-a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_(0))_(2)=-\sum _(k=0)^(n-1)a_( k)2^(k).)
cod suplimentar.
Numerele fracționale Un număr fracționar scris în sistemul de numere binar ca, are valoarea:
(a n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0 , a - 1 a - 2 ... a - (m - 1) a - m) 2 (\displaystyle (a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_(0),a_(-1)a_(-2)\dots a_(-(m-1))a_(-m))_(2))
(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 = ∑ k = − m n − 1 a k 2 k , (\displaystyle (a_( n-1)a_(n-2)\dots a_(1)a_(0),a_(-1)a_(-2)\dots a_(-(m-1))a_(-m))_( 2)=\sum _(k=-m)^(n-1)a_(k)2^(k),)
Adunarea, scăderea și înmulțirea numerelor binare
Tabel de adaos
Un exemplu de adăugare de coloane (expresia zecimală 14 10 + 5 10 = 19 10 în binar arată ca 1110 2 + 101 2 = 10011 2):
Exemplu de înmulțire a coloanei (expresia zecimală 14 10 * 5 10 = 70 10 în binar arată ca 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):
Începând cu numărul 1, toate numerele sunt înmulțite cu două. Punctul care vine după 1 se numește punct binar.
Conversia numerelor binare în zecimale 110001 2 Să presupunem că ni se dă un număr binar
1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49
. Pentru a converti în zecimală, scrieți-o ca o sumă cu cifre, după cum urmează:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Același lucru puțin diferit:
| 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
| +32 | +16 | +0 | +0 | +0 | +1 |
Puteți scrie acest lucru sub formă de tabel astfel:
Deplasați-vă de la dreapta la stânga. Sub fiecare unitate binară, scrieți echivalentul acesteia pe linia de mai jos. Adăugați numerele zecimale rezultate. Astfel, numărul binar 110001 2 este echivalent cu numărul zecimal 49 10.
Conversia numerelor binare fracționale în numere zecimale 1011010,101 2 Trebuie să convertiți numărul
1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 −1 + 0 * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625
. Pentru a converti în zecimală, scrieți-o ca o sumă cu cifre, după cum urmează:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
la sistemul zecimal. Să scriem acest număr după cum urmează:
| 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | , | 1 | 0 | 1 |
| +64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | +0.5 | +0 | +0.125 |
Sau conform tabelului:
Transformarea Horner Pentru a converti numerele din binar în zecimal folosind această metodă, trebuie să însumați numerele de la stânga la dreapta, înmulțind rezultatul obținut anterior cu baza sistemului (în acest caz, 2). Metoda lui Horner este de obicei folosită pentru a converti de la sistemul binar la sistemul zecimal. Funcționare inversă
dificil, deoarece necesită abilități de adunare și înmulțire în sistemul de numere binar. 1011011 2 De exemplu, un număr binar
0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91
convertit în sistem zecimal după cum urmează:
Adică, în sistemul zecimal acest număr va fi scris ca 91.
Conversia părții fracționale a numerelor folosind metoda lui Horner
Cifrele sunt luate din numărul de la dreapta la stânga și împărțite la baza sistemului de numere (2). 0,1101 2
(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125
De exemplu
Răspuns: 0,1101 2 = 0,8125 10
Să presupunem că trebuie să convertim numărul 19 în binar. Puteți utiliza următoarea procedură:
19/2 = 9 cu rest 1
9/2 = 4 cu rest 1
4/2 = 2 fără rest 0
2/2 = 1 fără rest 0
1/2 = 0 cu rest 1
Deci împărțim fiecare coeficient la 2 și scriem restul la sfârșitul notației binare. Continuăm împărțirea până când coeficientul este 0. Scriem rezultatul de la dreapta la stânga. Adică, cifra de jos (1) va fi cea mai din stânga etc. Ca rezultat, obținem numărul 19 în notație binară: 10011 .
Conversia numerelor zecimale fracționale în binar
Dacă numărul inițial are o parte întreagă, atunci acesta este convertit separat de partea fracțională. Traducere număr fracționar de la sistemul numeric zecimal la sistemul binar se realizează conform următorului algoritm:
- Fracția se înmulțește cu baza sistemului numeric binar (2);
- În produsul rezultat, este izolată partea întreagă, care este considerată cea mai semnificativă cifră a numărului din sistemul numeric binar;
- Algoritmul se termină dacă partea fracțională a produsului rezultat este egală cu zero sau dacă este atinsă precizia de calcul necesară. În caz contrar, calculele continuă pe partea fracționată a produsului.
Exemplu: trebuie să convertiți o fracție număr zecimal 206,116 la un număr binar fracționar.
Translația întregii părți dă 206 10 =11001110 2 conform algoritmilor descriși anterior. Partea fracționatăÎnmulțim 0,116 cu baza 2, introducând părțile întregi ale produsului în zecimale ale numărului binar fracționar dorit:
0,116 2 = 0 ,232
0,232 2 = 0 ,464
0,464 2 = 0 ,928
0,928 2 = 1 ,856
0,856 2 = 1 ,712
0,712 2 = 1 ,424
0,424 2 = 0 ,848
0,848 2 = 1 ,696
0,696 2 = 1 ,392
0,392 2 = 0 ,784
etc.
Astfel 0,116 10 ≈ 0, 0001110110 2
Obținem: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2
Aplicații
În dispozitivele digitale
Sistemul binar este utilizat în dispozitivele digitale deoarece este cel mai simplu și îndeplinește cerințele:
- Cu cât sunt mai puține valori în sistem, cu atât este mai ușor să fabricați elemente individuale care operează pe aceste valori. În special, două cifre ale sistemului de numere binar pot fi reprezentate cu ușurință de multe fenomene fizice: există curent (curentul este mai mare decât valoarea de prag) - nu există curent (curentul este mai mic decât valoarea de prag), magnetic inducția câmpului este mai mare decât valoarea pragului sau nu (inducția câmpului magnetic este mai mică decât valoarea pragului) etc.
- Cu cât un element are mai puține stări, cu atât este mai mare imunitatea la zgomot și poate funcționa mai rapid. De exemplu, pentru a codifica trei stări prin mărimea tensiunii, curentului sau inducției câmpului magnetic, va trebui să introduceți două valori de prag și doi comparatori.
ÎN tehnologie informatică Notarea numerelor binare negative în complement a doi este utilizată pe scară largă. De exemplu, numărul −5 10 ar putea fi scris ca −101 2, dar ar fi stocat ca 2 pe un computer pe 32 de biți.
În sistemul englez de măsuri
Când se indică dimensiunile liniare în inci, fracțiile binare sunt utilizate în mod tradițional mai degrabă decât zecimale, de exemplu: 5¾″, 7 15/16″, 3 11/32″ etc.
Generalizări
Sistemul de numere binar este o combinație între sistemul de codificare binar și o funcție de ponderare exponențială cu o bază egală cu 2. Trebuie remarcat faptul că un număr poate fi scris în cod binar, iar sistemul numeric poate să nu fie binar, ci cu o bază diferită. Exemplu: codificare BCD, în care cifrele zecimale sunt scrise în binar, iar sistemul numeric este zecimal.
Poveste
- Un set complet de 8 trigrame și 64 de hexagrame, analog numerelor de 3 și 6 biți, era cunoscut în China antică în textele clasice ale Cărții Schimbărilor. Ordinea hexagramelor în cartea schimbarilor, aranjate în conformitate cu valorile cifrelor binare corespunzătoare (de la 0 la 63), iar metoda de obținere a acestora a fost dezvoltată de omul de știință și filozoful chinez Shao Yong în secolul al XI-lea. Cu toate acestea, nu există dovezi care să sugereze că Shao Yun a înțeles regulile aritmeticii binare, aranjand tupluri cu două caractere în ordine lexicografică.
- Seturile, care sunt combinații de cifre binare, au fost folosite de africani în divinația tradițională (cum ar fi Ifa) împreună cu geomanția medievală.
- În 1854, matematicianul englez George Boole a publicat o lucrare de referință care descrie sistemele algebrice aplicate logicii, care este acum cunoscută sub numele de algebră booleană sau algebră a logicii. Calculul său logic a fost destinat să joace un rol important în dezvoltarea circuitelor electronice digitale moderne.
- În 1937, Claude Shannon și-a depus teza de doctorat pentru apărare. Analiza simbolică a releelor și a circuitelor de comutareîn , în care algebră booleană și aritmetică binară au fost folosite în legătură cu releu electronicși întrerupătoare. Toată tehnologia digitală modernă se bazează în esență pe disertația lui Shannon.
- În noiembrie 1937, George Stibitz, care mai târziu a lucrat la Bell Labs, a creat computerul „Model K” bazat pe relee. K itchen”, bucătăria în care s-a efectuat montajul), care a efectuat adunarea binară. La sfârșitul anului 1938, Bell Labs a lansat un program de cercetare condus de Stiebitz. Calculatorul creat sub conducerea sa, finalizat la 8 ianuarie 1940, era capabil să efectueze operații cu numere complexe. În timpul unei demonstrații la conferința Societății Americane de Matematică de la Dartmouth College din 11 septembrie 1940, Stibitz a demonstrat capacitatea de a trimite comenzi la un calculator de numere complexe de la distanță prin linie telefonică folosind un teletip. Aceasta a fost prima încercare de a utiliza un computer la distanță printr-o linie telefonică. Printre participanții la conferință care au asistat la demonstrație se numărau John von Neumann, John Mauchly și Norbert Wiener, care mai târziu au scris despre aceasta în memoriile lor.
Vezi de asemenea
Note
- Popova Olga Vladimirovna. Manual de informatică (nedefinit) .