Reprezentarea grafică a seriei spectrului Fourier. Aplicarea practică a transformatei Fourier pentru analiza semnalului. Introducere pentru începători. Diagrama spectrală a unui semnal periodic

În prezent sunt cunoscute următoarele metode de organizare a canalelor radio (tehnologii radio): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Sunt posibile combinații ale acestora (de exemplu, FDMA/TDMA). Momentul de aplicare a acestor tehnologii coincide în mare măsură cu etapele de dezvoltare a sistemelor de comunicații mobile. Prima generație de echipamente de radiotelefonie mobilă a folosit tehnologia de acces multiplu cu împărțirea frecvenței canale (FDMA). Tehnologia radio FDMA a fost folosită până acum cu succes în echipamentele avansate comunicatii celulare prima generație, precum și în sistemele de radiotelefonie mobile mai simple cu structură non-celulară. În ceea ce privește standardele de comunicații mobile din prima etapă, conceptul de standarde nu a fost folosit pentru primele sisteme radiale, iar echipamentele difereau în funcție de denumirile sistemelor (Altai, Volemot, Actionet etc.). Sistemele de comunicații celulare au început să difere în standarde. Tehnologia FDMA este baza pentru astfel de standarde ale sistemelor de comunicații celulare de prima generație precum NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Sistemele de comunicații mobile celulare de a doua generație au făcut tranziția la procesarea digitală a mesajelor vocale transmise, care au început să utilizeze tehnologia radio cu acces multiplu pe diviziune în timp (TDMA). Ca urmare a trecerii la TDMA: imunitatea la zgomot a căii radio a crescut, protecția sa împotriva interceptării a devenit mai bună etc. TDMA este utilizat în sisteme cu standarde precum GSM, D-AMPS(acesta din urmă este adesea denumit pur și simplu TDMA în versiunea americană). Tehnologia radio cu acces multiplu cu diviziune de cod CDMA, sau în versiunea în limba engleză CDMA, a fost introdusă activ în rețelele publice de radiotelefonie doar în ultimii cinci ani. Această tehnologie radio are avantajele ei, deoarece în echipamentele CDMA: - eficiența utilizării spectrului de frecvențe radio este de 20 de ori mai mare față de echipamentele radio din standardul AMPS (tehnologie FDMA) și de 3 ori mai mare față de GSM (tehnologie TDMA); - calitate, fiabilitate și confidențialitate semnificativ mai bună a comunicațiilor decât în ​​alte sisteme TDMA de a doua generație; - este posibil să se utilizeze terminale de mică putere cu pe termen lung lucru; - la aceeași distanță de stația de bază, puterea de radiație a terminalelor de abonat CDMA este mai mică de peste 5 ori față de același indicator în rețelele standard bazate pe alte tehnologii radio; - este posibilă optimizarea topologiei rețelei la calcularea zonelor de acoperire. Tehnologia CDMA a fost implementată pentru prima dată în echipamentele celulare ale standardului IS-95. În ceea ce privește capacitățile lor de servicii, sistemele CDMA existente aparțin sistemelor de comunicații celulare de a doua generație. Potrivit statisticilor Institutului Național de Telecomunicații (ETRI), numărul abonaților la rețeaua CDMA crește cu 2.000 de persoane în fiecare zi. În ceea ce privește ritmul de creștere a numărului de abonați, aceste rețele depășesc rețelele altor standarde de comunicații celulare existente, depășind dezvoltarea rețelelor celulare chiar și a unui standard atât de popular precum GSM. În prezent, există cel puțin 30 de milioane de abonați în rețelele CDMA. Comunitatea globală de telecomunicații este înclinată să creadă că CDMA va ocupa o poziție de lider în viitoarele sisteme de acces fără fir pentru liniile de abonat (sisteme de comunicații personale de a treia generație). Această concluzie a fost făcută datorită faptului că tehnologia CDMA este cea mai capabilă să îndeplinească cerințele pentru echipamentele IMT-2000 de a treia generație, în special pentru asigurarea schimbului de informații cu rate de transmisie ridicate. Cu toate acestea, în viitoarele sisteme de acces fără fir este planificată utilizarea așa-numitelor sisteme CDMA de bandă largă, unde banda de frecvență pe canal va fi de cel puțin 5 MHz (în sistemele moderne CDMA de a doua generație banda pe canal este de 1,23 MHz). În ultimii ani au început să apară instrumente comunicare fără fir, care se bazează pe tehnologia Frequency Hopping Spread Spectrum (FH-CDMA). Această tehnologie combină specificul TDMA, în care fiecare frecvență este împărțită în mai multe intervale de timp, și CDMA, în care fiecare transmițător utilizează o secvență specifică de semnale asemănătoare zgomotului. Această tehnologie și-a găsit aplicația în sistemele concepute pentru organizarea comunicațiilor pe linie fixă.

UNDE SA-I GASAI CARACTERISTICILE DAI STIU

44. Reprezentarea semnalelor periodice sub formă de serie Fourier

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Semnale periodice și seriile Fourier

Un model matematic al unui proces care se repetă în timp este un semnal periodic cu următoarea proprietate:

Aici T este perioada semnalului.

Sarcina este de a găsi descompunerea spectrală a unui astfel de semnal.

Seria Fourier.

Să stabilim intervalul de timp considerat în cap. I este o bază ortonormală formată din funcții armonice cu frecvențe multiple;

Orice funcție din această bază satisface condiția de periodicitate (2.1). Prin urmare, efectuând o descompunere ortogonală a semnalului în această bază, adică prin calcularea coeficienților

obținem descompunerea spectrală

valabil pe tot infinitul axei timpului.

O serie de forma (2.4) se numește seria Fourier a unui semnal dat. Să introducem frecvența fundamentală a secvenței care formează semnalul periodic. Calculând coeficienții de expansiune folosind formula (2.3), scriem seria Fourier pentru un semnal periodic

cu cote

(2.6)

Deci, în cazul general, un semnal periodic conține o componentă constantă independentă de timp și un set infinit de oscilații armonice, așa-numitele armonice cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței fundamentale a secvenței.

Fiecare armonică poate fi descrisă prin amplitudinea și faza sa inițială

Înlocuind aceste expresii în (2.5), obținem o altă formă echivalentă a seriei Fourier:

care uneori se dovedește a fi mai convenabil.

Diagrama spectrală a unui semnal periodic.

Aceasta este ceea ce se numește în mod obișnuit o reprezentare grafică a coeficienților seriei Fourier pentru un anumit semnal. Există diagrame spectrale de amplitudine și fază (Fig. 2.1).

Aici, axa orizontală reprezintă frecvențele armonice pe o anumită scară, iar axa verticală reprezintă amplitudinile și fazele inițiale ale acestora.

Orez. 2.1. Diagrame spectrale ale unui semnal periodic: a - amplitudine; b - faza

Ei sunt interesați în special de diagrama de amplitudine, care permite să se judece procentul anumitor armonici în spectrul unui semnal periodic.

Să studiem câteva exemple concrete.

Exemplul 2.1. Seria Fourier a unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare cu parametri cunoscuți, chiar relativ la punctul t = 0.

În inginerie radio, raportul se numește ciclu de lucru al secvenței. Folosind formulele (2.6) găsim

Este convenabil să scrieți formula finală a seriei Fourier în formă

În fig. Figura 2.2 prezintă diagramele de amplitudine ale secvenței luate în considerare în două cazuri extreme.

Este important de reținut că o secvență de impulsuri scurte care se succed unul pe altul are destul de rar o compoziție spectrală bogată.

Orez. 2.2. Spectrul de amplitudine al unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare: a - cu un ciclu de lucru mare; b - cu ciclu de lucru redus

Exemplul 2.2. Seria Fourier a unei secvențe periodice de impulsuri formată dintr-un semnal armonic de formă limitată la nivel (se presupune că ).

Să introducem un parametru special - unghiul de tăiere, determinat din relația unde

În conformitate cu aceasta, valoarea este egală cu durata unui impuls, exprimată în măsură unghiulară:

Înregistrarea analitică a impulsului care generează secvența luată în considerare are forma

Componentă secvență constantă

Primul factor de amplitudine armonică

În mod similar, amplitudinile componentelor armonice sunt calculate la

Rezultatele obținute sunt de obicei scrise astfel:

unde funcționează așa-numitul Berg:

Graficele unor funcții Berg sunt prezentate în Fig. 2.3.

Orez. 2.3. Grafice ale primelor câteva funcții Berg

Densitatea spectrală a semnalelor.

Transformate Fourier directe și inverse.

Un semnal periodic de orice formă cu o perioadă T poate fi reprezentat ca o sumă

oscilații armonice cu amplitudini și faze inițiale diferite, ale căror frecvențe sunt multiple ale frecvenței fundamentale. Armonica acestei frecvențe se numește fundamentală sau prima, restul se numește armonici superioare.

,

Forma trigonometrică a seriei Fourier:
Unde

- componenta constanta;

- amplitudini ale componentelor cosinus;

- amplitudini ale componentelor sinusoidale.
Semnal uniform (
) are doar cosinus și impar (

- numai termeni sinusoidali.

,

Forma trigonometrică a seriei Fourier:
Unde

Mai convenabilă este forma trigonometrică echivalentă a seriei Fourier:

- amplitudinea armonicii a n-a a semnalului. Setul de amplitudini ale componentelor armonice se numeste spectru de amplitudine;

1. - faza iniţială a armonicii a n-a a semnalului. Setul de faze ale componentelor armonice se numește spectru de fază.

Spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare. Dependența spectrului de perioada de repetare a pulsului și durata acestora. Lățimea spectrului. Extinderea seriei Fourier
Să calculăm spectrele de amplitudine și fază ale STPP-urilor care au o amplitudine , durata , perioada de călătorie

și situate simetric față de originea coordonatelor (semnalul este o funcție pară).

Figura 5.1 – Diagrama temporală AEFI.

Un semnal pe un interval de o perioadă poate fi înregistrat:

,

Calcule:

Seria Fourier pentru PPPI are forma:.

Figura 5.2 – Diagrama spectrală de amplitudine a SPPI.

Spectrul SPPI este linie (discret) (reprezentat ca un set de linii spectrale individuale), armonic (liniile spectrale sunt la aceeași distanță una de cealaltă ω 1), descrescătoare (amplitudinele armonicilor scad odată cu creșterea numărului lor), are o structură de lobi (lățimea fiecărui lob este de 2π/ τ), nelimitată (intervalul de frecvență în care sunt situate liniile spectrale este infinit);

Cu cicluri de lucru întregi, componentele de frecvență cu frecvențe care sunt multiple ale ciclului de lucru sunt absente în spectru (frecvențele lor coincid cu zerourile anvelopei spectrului de amplitudine);

Pe măsură ce ciclul de lucru crește, amplitudinile tuturor componentelor armonice scad. Mai mult, dacă este asociată cu o creștere a perioadei de repetare T, atunci spectrul devine mai dens (ω 1 scade), cu o scădere a duratei pulsului τ, lățimea fiecărui lob devine mai mare;

Intervalul de frecvență care conține 95% din energia semnalului este luat ca lățime a spectrului SPPI (egal cu lățimea primilor doi lobi ai anvelopei):

sau
;

Toate armonicile situate în același lob al anvelopei au aceleași faze, egale fie cu 0, fie cu π.

1. Utilizarea transformatei Fourier pentru a analiza spectrul semnalelor neperiodice. Spectrul unui singur impuls dreptunghiular. Transformate Fourier integrale

Semnalele de comunicare sunt întotdeauna limitate în timp și, prin urmare, nu sunt periodice. Dintre semnalele neperiodice, impulsurile unice (SP) sunt de cel mai mare interes. OP poate fi considerat ca un caz limitativ al unei secvențe periodice de impulsuri (PPS) cu o durată cu o perioadă de repetare infinit de mare
.

Figura 6.1 – PPI și OI.

Un semnal neperiodic poate fi reprezentat prin suma unui număr infinit de oscilații cu frecvențe infinit apropiate și amplitudini extrem de mici. Spectrul IR este continuu și este introdus prin integrale Fourier:

-
(1) - transformată Fourier directă. Vă permite să găsiți analitic funcția spectrală dintr-o formă de semnal dată;

-
(2) - transformată Fourier inversă. Vă permite să găsiți analitic forma folosind o funcție spectrală dată a semnalului.

Forma complexă a transformatei integrale Fourier(2) oferă o reprezentare spectrală în două sensuri (având frecvențe negative) a unui semnal neperiodic
ca sumă de oscilaţii armonice
cu amplitudini complexe infinitezimale
, ale căror frecvențe umplu continuu întreaga axă a frecvenței.

Densitatea spectrală complexă a semnalului - functie complexa frecvență, transportând simultan informații despre amplitudinea și faza armonicilor elementare.

Modulul densității spectrale se numește densitate spectrală de amplitudine. Poate fi considerat ca răspunsul în frecvență al spectrului continuu al unui semnal neperiodic.

Argument de densitate spectrală
se numește densitatea spectrală a fazelor. Poate fi considerat ca răspunsul de fază caracteristic spectrului continuu al unui semnal neperiodic.

Să transformăm formula (2):

Forma trigonometrică a transformării integrale Fourier oferă o reprezentare spectrală unidirecțională (fără frecvențe negative) a unui semnal neperiodic:

.

Filtre digitale (Prelegere)

Pe baza tipului de răspuns la impuls, filtrele digitale sunt împărțite în două clase mari:

· Filtre cu ultimate răspuns la impuls(FIR - filtre, filtre transversale, filtre nerecursive). Numitorul funcției de transfer a unor astfel de filtre este o anumită constantă.

Filtrele FIR se caracterizează prin expresia:

· Filtrele cu răspuns la impuls infinit (filtre IIR, filtre recursive) folosesc una sau mai multe dintre ieșirile lor ca intrare, adică formează feedback. Principala proprietate a unor astfel de filtre este că răspunsul lor la impuls are o lungime infinită în domeniul timpului, iar funcția de transfer are o formă fracționară-rațională.

Filtrele IIR sunt caracterizate prin expresia:

Diferența dintre filtrele FIR și filtrele IIR este că pentru filtrele FIR răspunsul de ieșire depinde de semnalele de intrare, iar pentru filtrele IIR răspunsul de ieșire depinde de valoarea curentă.

Răspuns la impuls este răspunsul circuitului la un singur semnal.

Esemnal unic

Astfel, un singur semnal la un singur punct este egal cu unul - la punctul de origine.

Deţinut esemnal unic este definită după cum urmează:

Astfel, semnalul unic întârziat este întârziat cu k perioade de eșantionare.

Semnale și spectre

Dualitatea (dualitatea) reprezentării semnalului.

Toate semnalele pot fi reprezentate în planul timpului sau al frecvenței.

În plus, există mai multe planuri de frecvență.

Planul timpului.

Transformări.

Planul de frecvență.

Există un dispozitiv pentru a vizualiza semnalul în planul temporal:

Să ne imaginăm că există un semnal sinusoidal destul de lung (o sinusoidă se repetă de 1000 de ori într-o secundă):

Să luăm un semnal cu o frecvență de două ori mai mare:

Să adunăm aceste semnale. Nu obținem un semnal sinusoid, ci un semnal distorsionat:

Transformările din planul timpului în planul frecvenței sunt realizate folosind transformate Fourier.

Există un dispozitiv pentru a vizualiza semnalul în planul frecvenței:

Frecvența ciclică sau circulară ( f).

Planul de frecvență va arăta o crestătură:

Mărimea crestăturii este proporțională cu amplitudinea sinusoidei și cu frecvența:

Pentru al doilea semnal, domeniul de frecvență va afișa o crestătură diferită:

În domeniul temporal al semnalului total, vor apărea 2 crestături:

Ambele reprezentări de semnal sunt echivalente și se utilizează fie prima, fie cealaltă reprezentare, în funcție de care este mai convenabilă.

Conversiile din planul timpului în planul frecvenței se pot face în diferite moduri. De exemplu: folosind transformate Laplace sau folosind transformate Fourier.

Trei forme de înregistrare a seriei Fourier.

Există trei forme de scriere a seriei Fourier:

· Sinus - forma cosinus.

· Forma reală.

· Forma complexă.

1.) În formă sinus-cosinus Seria Fourier are forma:

Multiplii de frecvență incluși în formulă kω 1 sunt numite armonici; armonicele sunt numerotate conform indicelui k; frecvenţă ωk =kω 1 este numit k a-a armonică a semnalului.

Această expresie spune următoarele: că orice funcție periodică poate fi reprezentată ca o sumă de armonici, unde:

T– perioada de repetare a acestei functii;

ω - frecventa circulara.

, Unde

t– ora curentă;

T– punct.

În expansiunea Fourier, cel mai important lucru este periodicitatea. Datorită acesteia, are loc eșantionarea în frecvență și începe un anumit număr de armonici.

Pentru a stabili posibilitatea unei expansiuni trigonometrice pentru o anumită funcție periodică, trebuie să pornești de la un anumit set de coeficienți. Metoda de determinare a acestora a fost inventată de Euler în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea și, independent de el, la începutul secolului al XIX-lea de Fourier.

Trei formule Euler pentru determinarea coeficienților:

; ;

Formulele lui Euler nu au nevoie de nicio dovadă. Aceste formule sunt precise pentru un număr infinit de armonici. Seria Fourier este o serie trunchiată, deoarece nu există un număr infinit de armonici. Coeficientul unei serii trunchiate este calculat folosind aceleași formule ca pentru seria completă. În acest caz, eroarea pătratică medie este minimă.

Puterea armonicilor scade pe măsură ce numărul lor crește. Dacă adăugați/renunțați unele componente armonice, atunci nu este necesară recalcularea termenilor rămași (alte armonice).

Aproape toate funcțiile sunt pare sau impare:

CHIAR FUNCȚIE

FUNCȚIE IMPARE

Caracterizat prin ecuația:

De exemplu, funcția Cos:

pentru care: t = −t

O funcție pară este simetrică în raport cu

axele ordonate

Dacă funcția este pară, atunci toți coeficienții sinus bk cosinus termeni.

Caracterizat prin ecuația:

De exemplu, funcția Păcat:

O funcție impară este simetrică față de centru.

Dacă funcția este impară, atunci toți coeficienții cosinus ak va fi egal cu zero și în formula seriei Fourier va fi prezent doar sinusurilor termeni.

2.) Forma reală Înregistrări din seria Fourier.

Unele inconveniente ale formei sinus-cosinus a seriei Fourier este că pentru fiecare valoare a indicelui de însumare k(adică pentru fiecare armonică cu frecvență kω 1) formula conține doi termeni – sinus și cosinus. Folosind formulele transformărilor trigonometrice, suma acestor doi termeni poate fi transformată într-un cosinus de aceeași frecvență cu o amplitudine diferită și o fază inițială:

, Unde

;

Dacă S(t) este o funcție uniformă, faze φ poate lua doar valori 0 și π , iar dacă S(t) - funcția este impară, apoi valorile posibile pentru fază φ egal + π /2.

Dacă bk= 0, apoi tg φ = 0 și unghi φ = 0

Dacă ak= 0, apoi tg φ – unghiul este infinit φ =

Poate exista un minus în această formulă (în funcție de direcția luată).

3.) Formă complexă Înregistrări din seria Fourier.

Această formă de reprezentare a seriei Fourier este poate cea mai folosită în ingineria radio. Se obține din forma reală prin reprezentarea cosinusului ca o jumătate de sumă de exponențiale complexe (această reprezentare decurge din formula lui Euler ejθ = Cosθ + jSinθ):

Prin aplicare această transformare la forma reală a seriei Fourier, obținem sumele exponențialelor complexe cu exponenți pozitivi și negativi:

Acum vom trata exponenții cu semnul minus în indicator ca membri ai unei serii cu numere negative. In cadrul aceluiasi abordare comună termen constant o 0/2 va deveni membru al seriei cu numărul zero. Rezultatul este o formă complexă de scriere a seriei Fourier:

Formula pentru calcularea cotelor Ck Seria Fourier:

Dacă S(t) este chiar funcție, coeficienți de serie Ck va fi curat real, iar dacă S(t) - funcție ciudat, coeficienții seriei vor fi pur imaginar.

Setul de amplitudini armonice din seria Fourier este adesea numit spectrul de amplitudine, iar totalitatea fazelor lor este spectrul de fază.

Spectrul de amplitudine este partea reală a coeficienților Ck Seria Fourier:

Re( Ck) – spectrul de amplitudine.

Spectrul de semnale dreptunghiulare.

Luați în considerare un semnal sub forma unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare cu amplitudine O, durata τ și perioada de repetare T. Să luăm referința de timp pentru a fi situată în mijlocul pulsului.

Acest semnal este o funcție uniformă, așa că pentru a-l reprezenta este mai convenabil să folosiți forma sinus-cosinus a seriei Fourier - va conține numai termeni cosinus ak, egal:

Din formulă reiese clar că durata impulsurilor și perioada de repetare a acestora nu sunt incluse în ea separat, ci exclusiv ca raport. Acest parametru - raportul dintre perioada și durata pulsului - este numit ciclu de lucru secvențe de impulsuri și sunt desemnate cu litera: g: g = T/τ. Să introducem acest parametru în formula rezultată pentru coeficienții seriei Fourier și apoi să reducem formula la forma Sin(x)/x:

Nota: În literatura străină, în loc de duty cycle se folosește valoarea inversă, numită duty cycle și egală cu τ / T.

Cu această formă de notație, devine clar cu ce este egală valoarea termenului constant al seriei: de când x→ 0 Sin( x)/x→1, atunci

Acum putem nota reprezentarea secvenței de impulsuri dreptunghiulare sub forma unei serii Fourier:

Amplitudinile termenilor armonici ai seriei depind de numărul armonici conform legii Sin( x)/x.

Graficul funcției Sin( x)/x are un caracter petal. Vorbind despre lățimea acestor lobi, trebuie subliniat faptul că pentru graficele spectrelor discrete ale semnalelor periodice sunt posibile două opțiuni de calibrare a axei orizontale - în numere armonice și în frecvențe.

În figură, gradarea axei corespunde numerelor armonice, iar parametrii de frecvență ai spectrului sunt reprezentați pe grafic folosind linii de dimensiune.

Deci, lățimea lobilor, măsurată în numărul de armonici, este egală cu ciclul de lucru al secvenței (la k = ng avem Păcat (π k/g) = 0 dacă n≠ 0). Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - nu conține (au amplitudini zero) armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru.

Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu frecvența de repetare a impulsurilor - 2 π /T. Lățimea lobilor spectrului, măsurată în unități de frecvență, este de 2 π /τ , adică invers proporțional cu durata pulsului. Aceasta este o manifestare a legii generale - cu cât semnalul este mai scurt, cu atât spectrul său este mai larg.

Concluzie : pentru orice semnal sunt cunoscute expansiunile sale din seria Fourier. știind τ Şi T putem calcula câte armonice sunt necesare pentru a transmite puterea.

Metode de analiză a sistemelor liniare cu coeficienți constanți.

Problema asa cum s-a spus:

Există un sistem liniar (nu depinde de amplitudinea semnalului):

COEFII: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; determinăm porturile de intrare.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; determinăm porturile de ieșire.

ORG P: 0; organizarea memoriei P.

RESET: JMP START ; tranziție necondiționată la eticheta START.

P:100; programul va începe de la a suta celulă.

START: MOVE BUF_X, R0 ; Introducem adresa de pornire X în R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ;mutare la mod. aritmetica (numărul de înregistrare pentru 1 bărbați., decât ordinea acestui tampon)

MOVE# COEFFE, R4 ; ciclu de organizare. tampon pentru coeficienți în memoria Y.

MOVE# M0, M4 ; deoarece lungimea trebuie să se potrivească, atunci res. de la M0 la M4.

CLRA ; reseta bateria.

REP# ORDFIL ; repetați operația în lanț.

MUTAREA A, X: (R4) + ; folosit autoincrement și toate celulele sunt tampon. resetare.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ;octet. transmiterea citirilor (ultimul inteligent. la b0).

REP# ORDFIL─1 ; reprezentant. funcționare în lanț (de 39 de ori inteligentă fără rotunjire)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ;inteligent. X0naY0, res. în ak; pregătire sl. oper.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; transferul octet-cu-octet al conținutului. baterie

JMP LOOP ; salt necondiționat la eticheta LOOP.

Procedura de proiectare a filtrelor digitale.

Procedura de proiectare a filtrelor digitale este legată în primul rând de tipul de filtru de-a lungul liniei de răspuns în frecvență. Una dintre problemele frecvent întâlnite în practică este crearea unor filtre care transmit semnale într-o anumită bandă de frecvență și blochează alte frecvențe. Există patru tipuri:

1.) Filtre low-pass (LPF; termen englezesc - low-pass filter), care transmit frecvențe mai mici decât o anumită frecvență de tăiere ω 0.

2.) Filtre high-pass (HPF; termen englezesc - high-pass filter), care transmit frecvențe mai mari decât o anumită frecvență de tăiere ω 0.

3.) Filtre de trecere de bandă (PF; termen englezesc - filtru de trecere de bandă), frecvențe de trecere într-un anumit interval ω 1…. ω 2 (pot fi caracterizate și printr-o frecvență medie ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Filtre Notch (alte denumiri posibile sunt filtru stop, filtru plug, filtru band-stop; termen englezesc - band-stop filter), care transmit la ieșire Toate frecvente, cu excepţia situată într-un anumit interval ω 1…. ω 2 (pot fi caracterizate și printr-o frecvență medie ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 și lățimea de bandă Δ ω = ω 2 – ω 1).

Forma ideală a răspunsului în frecvență al acestor patru tipuri de filtre este:

Cu toate acestea, o astfel de formă ideală (dreptunghiulară) a răspunsului în frecvență nu poate fi realizată fizic. Prin urmare, în teoria filtrelor analogice, au fost dezvoltate o serie de metode aproximări răspuns în frecvență dreptunghiular.

În plus, după ce ați calculat filtrul low-pass, puteți utiliza transformări simple pentru a-i modifica frecvența de tăiere, a-l transforma într-un filtru trece-înalt, filtru trece-bandă sau filtru notch cu parametri specificați. Prin urmare, calculul unui filtru analogic începe cu calculul așa-numitului filtru prototip, care este un filtru trece-jos cu o frecvență de tăiere de 1 rad/s.

1.) filtru Butterworth:

Funcția de transfer a filtrului prototip Butterworth nu are zerouri, iar polii săi sunt distanțați uniform pe s-plan în jumătatea stângă a unui cerc de rază unitară.

Pentru filtrul Butterworth, frecvența de tăiere este determinată de nivelul 1/. Filtrul Butterworth oferă cât se poate de plat vârf în banda de trecere.

2.) Filtru Chebyshev de primul fel:

Funcția de transfer a filtrului Chebyshev de primul fel (filtrul Chebyshev tip I) nu are nici zero zero, iar polii săi sunt localizați în jumătatea stângă a elipsei pe s-avion. Pentru un filtru Chebyshev de primul fel, frecvența de tăiere este determinată de nivelul de ondulare din banda de trecere.

În comparație cu un filtru Butterworth de același ordin, filtrul Chebyshev oferă o scădere mai abruptă a răspunsului în frecvență în regiunea de tranziție de la banda de trecere la banda de oprire.

3.) Filtru Chebyshev de al doilea fel:

Funcția de transfer a unui filtru Chebyshev de tip II, spre deosebire de cazurile anterioare, are atât zerouri, cât și poli. Filtrele Chebyshev de al doilea fel sunt numite și filtre Chebyshev inverse. Frecvența de tăiere a filtrului Chebyshev de al doilea fel nu este sfârșitul benzii de trecere, dar începutul benzii de oprire. Coeficientul de transmisie a filtrului la frecvența zero este 1, la frecvența de tăiere - până la nivelul specificat de ondulare în banda de oprire. La ω → ∞ coeficientul de transmisie este zero pentru o ordine de filtru impar și nivelul de ondulare pentru unul par. La ω = 0 Răspunsul în frecvență al unui filtru Chebyshev de al doilea fel este cât se poate de plat.

4.) Filtre eliptice:

Filtrele eliptice (filtre Cauer; termeni englezi - filtru elliptic, filtru Cauer) într-un sens combină proprietățile filtrelor Chebyshev de primul și al doilea fel, deoarece răspunsul în frecvență al unui filtru eliptic are ondulații de o mărime dată, atât în ​​banda de trecere. iar în banda de oprire. Datorită acestui fapt, este posibil să se asigure panta maximă posibilă (cu o ordine fixă ​​a filtrului) a pantei răspunsului în frecvență, adică zona de tranziție între banda de trecere și banda de oprire.

Funcția de transfer a filtrului eliptic are atât poli, cât și zerouri. Zerourile, ca și în cazul filtrului Chebyshev de al doilea fel, sunt pur imaginare și formează perechi conjugate complexe. Numărul de zerouri al funcției de transfer este egal cu numărul par maxim care nu depășește ordinea filtrului.

Funcțiile MATLAB pentru calcularea filtrelor Butterworth, Chebyshev de primul și al doilea fel, precum și filtrele eliptice, vă permit să calculați atât filtre analogice, cât și filtre discrete. Funcțiile de calcul ale filtrului necesită ca ordinea filtrului și frecvența sa de tăiere să fie specificate ca parametri de intrare.

Ordinea filtrului depinde de:

asupra denivelărilor admisibile în banda de trecere pe dimensiunea zonei de incertitudine. (Cu cât zona de incertitudine este mai mică, cu atât declinul răspunsului în frecvență este mai abrupt).

Pentru filtrele FIR ordinea este de câteva zeci sau sute, iar pentru filtrele IIR comanda nu depășește câteva unități.

Pictogramele fac posibilă vizualizarea tuturor cotelor. Designul filtrului se face pe o singură fereastră.

Semnalul este apelat periodic, dacă forma sa se repetă ciclic în timp. Un semnal periodic în formă generală se scrie după cum urmează:

Iată perioada semnalului. Semnalele periodice pot fi fie simple, fie complexe.

Pentru reprezentarea matematică a semnalelor periodice cu o perioadă, este adesea folosită această serie, în care oscilațiile armonice (sinus și cosinus) de frecvențe multiple sunt selectate ca funcții de bază:

Unde . - frecvența unghiulară principală a succesiunii de funcții. Pentru funcțiile de bază armonică, din această serie obținem o serie Fourier, care în cel mai simplu caz poate fi scrisă sub următoarea formă:

unde sunt coeficienții

Din seria Fourier este clar că, în cazul general, un semnal periodic conține o componentă constantă și un set de oscilații armonice ale frecvenței fundamentale și armonicile sale cu frecvențele. Fiecare oscilație armonică a seriei Fourier este caracterizată de o amplitudine și o fază inițială.

Diagrama spectrală și spectrul unui semnal periodic.

Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe diferite, atunci aceasta înseamnă că descompunerea spectrală semnal.

Diagrama spectrală semnalul este o reprezentare grafică a coeficienților din seria Fourier ai acestui semnal. Există diagrame de amplitudine și fază. Pentru a construi aceste diagrame, valorile frecvențelor armonice sunt reprezentate pe o anumită scară de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile și fazele lor sunt reprezentate de-a lungul axei verticale. În plus, amplitudinile armonicilor pot lua doar valori pozitive, fazele pot lua atât valori pozitive, cât și negative în interval.

Diagrame spectrale ale unui semnal periodic:

a) - amplitudine; b) - faza.

Spectrul de semnal- acesta este un set de componente armonice cu valori specifice de frecvențe, amplitudini și faze inițiale, care împreună formează un semnal. În practică, diagramele spectrale sunt numite mai pe scurt - spectrul de amplitudine, spectrul de fază. Cel mai mare interes este prezentat în diagrama spectrală de amplitudine. Poate fi folosit pentru a estima procentul de armonici din spectru.

Caracteristicile spectrale joacă un rol important în tehnologia telecomunicațiilor. Cunoscând spectrul semnalului, puteți calcula și seta corect lățimea de bandă a amplificatoarelor, filtrelor, cablurilor și altor noduri ale canalelor de comunicație. Cunoașterea spectrelor de semnal este necesară pentru construirea de sisteme multicanal cu diviziune de frecvență. Fără cunoașterea spectrului de interferență, este dificil să se ia măsuri pentru a-l suprima.

Din aceasta putem concluziona că spectrul trebuie cunoscut pentru a realiza transmisia nedistorsionată a semnalului pe canalul de comunicație, pentru a asigura separarea semnalului și pentru a reduce interferența.

Pentru a observa spectrele semnalelor, există dispozitive numite analizoare de spectru. Acestea vă permit să observați și să măsurați parametrii componentelor individuale ale spectrului unui semnal periodic, precum și să măsurați densitatea spectrală a unui semnal continuu.

Adesea, descrierea matematică chiar și a semnalelor deterministe care sunt simple ca structură și formă este o sarcină dificilă. Prin urmare, se folosește o tehnică originală, în care semnalele complexe reale sunt înlocuite (reprezentate, aproximate) cu o mulțime (sumă ponderată, adică o serie) de modele matematice descrise de funcții elementare. Acesta oferă un instrument important pentru analiza trecerii semnalelor electrice prin circuite electronice. În plus, reprezentarea unui semnal poate fi folosită și ca sursă în descrierea și analiza acestuia. În acest caz, puteți simplifica semnificativ problema inversă - sinteză semnale complexe dintr-un set de funcţii elementare.

Reprezentarea spectrală a semnalelor periodice prin seria Fourier

Seria Fourier generalizată.

Ideea fundamentală a reprezentării spectrale a semnalelor (funcțiilor) datează de acum peste 200 de ani și aparține fizicianului și matematicianului J. B. Fourier.

Să luăm în considerare sistemele de funcții ortogonale elementare, fiecare dintre ele obținute dintr-una inițială - funcția prototip. Această funcție prototip acționează ca un „bloc de construcție”, iar aproximarea dorită este găsită prin combinarea adecvată a blocurilor identice. Fourier a arătat că orice funcție complexă poate fi reprezentată (aproximată) ca o sumă finită sau infinită a unei serii de oscilații armonice multiple cu anumite amplitudini, frecvențe și faze inițiale. Această funcție poate fi, în special, curentul sau tensiunea din circuit. O rază de soare, descompusă de o prismă într-un spectru de culori, este un analog fizic al transformării matematice Fourier (Fig. 2.7).

Lumina care iese din prismă este separată în spațiu în culori pure individuale, sau frecvențe. Spectrul are o amplitudine medie la fiecare frecvență. Astfel, funcția de intensitate față de timp a fost transformată într-o funcție de amplitudine față de frecvență. O ilustrare simplă a raționamentului lui Fourier este prezentată în Fig. 2.8. Curba de formă periodică, destul de complexă (Fig. 2.8, A)- aceasta este suma a două armonici cu frecvențe diferite, dar multiple: unică (Fig. 2.8, b)și sa dublat (Fig. 2.8, V).

Orez. 2.7.

Orez. 2.8.

O- oscilatie complexa; b,c- 1 și 2 semnale de aproximare

Folosind analiza spectrală Fourier functie complexa este reprezentată de suma armonicilor, fiecare având frecvența, amplitudinea și faza inițială proprii. Transformata Fourier definește funcții reprezentând amplitudinea și faza componentelor armonice corespunzătoare unei anumite frecvențe, iar faza este punctul de plecare al undei sinusoidale.

Transformarea poate fi obținută prin două metode matematice diferite, dintre care una este utilizată atunci când funcția originală este continuă, iar cealaltă când este dată de mai multe valori individuale discrete.

Dacă funcția studiată este obținută din valori cu anumite intervale discrete, atunci ea poate fi împărțită într-o serie succesivă de funcții sinusoidale cu frecvente discrete- de la frecvența cea mai joasă, fundamentală sau principală, iar apoi cu frecvențe dublate, triplate etc. deasupra celui principal. Această sumă de componente se numește lângă Fourier.

Semnale ortogonale. Într-un mod convenabil Descrierea spectrală a unui semnal conform lui Fourier este reprezentarea sa analitică folosind un sistem de funcții elementare ortogonale ale timpului. Să existe un spațiu Hilbert al semnalelor u0(t)y G/,(?), ..., tu n(t) cu energie finită, definită pe un interval de timp finit sau infinit (t v 1 2). Pe acest segment vom defini un sistem (subset) infinit de funcții elementare ale timpului interconectate și îl vom numi de bază".

Unde g = 1, 2, 3,....

Funcții u(t)Şi v(t) sunt ortogonale pe intervalul (?, ? 2) dacă produsul lor scalar, cu condiția ca niciuna dintre aceste funcții să nu fie identic zero.

În matematică, aceasta este definită în spațiul Hilbert al semnalelor baza de coordonate ortogonale, adică sistem de funcții de bază ortogonală.

Proprietatea de ortogonalitate a funcțiilor (semnalelor) este asociată cu intervalul de definire a acestora (Fig. 2.9). De exemplu, două semnale armonice m,(?) = = sin(2nr/7’ 0) și u.,(t)= păcat(4 nt/T Q)(adică cu frecvențe / 0 = 1/7’ 0 și, respectiv, 2/ 0) sunt ortogonale pe orice interval de timp a cărui durată este egală cu un număr întreg de semicicluri T 0(Fig. 2.9, O). Prin urmare, în prima perioadă semnalele și ((1)Şi u2(t) sunt ortogonale pe intervalul (0,7" 0 /2); dar pe intervalul (O, ZG 0 /4) sunt neortogonale. Pa Fig. 2.9, b semnalele sunt ortogonale datorită diferiţilor timpi de apariţie.

Orez. 2.9.

O- pe interval; b - datorită momentelor diferite de apariţie Prezentarea semnalului u(t) modelele elementare se simplifică semnificativ dacă se alege un sistem de funcții de bază vff), având proprietatea ortonormalitate. Din matematică se știe dacă pentru orice pereche de funcții din sistemul ortogonal (2.7) condiția este îndeplinită

apoi sistemul de funcții (2.7) ortonormal.

În matematică, un astfel de sistem de funcții de bază de forma (2.7) se numește baza ortonormala.

Fie, la un interval de timp dat |r, t 2| este activ un semnal arbitrar u(t) iar pentru a-l reprezenta se folosește sistemul ortonormal de funcții (2.7). Proiectarea semnalului arbitrar u(t) pe axa bazei de coordonate se numește expansiunea într-o serie Fourier generalizată. Această expansiune are forma

unde c, sunt niște coeficienți constanți.

Pentru a determina coeficienții de la până la seria Fourier generalizată, alegem una dintre funcțiile de bază (2.7) v k (t) s orice număr La. Să înmulțim ambele părți ale expansiunii (2.9) cu această funcție și să integrăm rezultatul în timp:

Datorită ortonormalității bazei funcțiilor alese, în partea dreaptă a acestei egalități toți termenii sumei la i ^ La va merge la zero. Doar singurul membru al sumei cu numărul va rămâne diferit de zero i = La, De aceea

Produsul formei c k v k (t), inclusă în seria Fourier generalizată (2.9), este componenta spectrală semnal u(t),și un set de coeficienți (proiecții ale vectorilor semnal pe axele de coordonate) (с 0 , с,..., de la până la,..., с„) determină complet semnalul analizat ii(t) si se numeste spectru(din lat. spectru- imagine).

Esența reprezentare spectrală (analiză) a semnalului constă în determinarea coeficienților cu i conform formulei (2.19).

Alegerea unui sistem ortogonal rațional de coordonate pe bază de funcții depinde de scopul cercetării și este determinată de dorința de a maximiza simplificarea aparatului matematic de analiză, transformare și prelucrare a datelor. Polinoamele lui Chebyshev, Hermite, Laguerre, Legendre etc. sunt utilizate în prezent ca funcții de bază. Cea mai răspândită transformare a semnalelor în bazele funcțiilor armonice: exponențială complexă exp (J 2ft)și funcții sinuso-cosinus trigonometrice reale legate de formula lui Euler e>x= cosx + y"sinx. Acest lucru se explică prin faptul că o oscilație armonică își păstrează teoretic complet forma atunci când trece prin circuite liniare cu parametri constanți, și se schimbă doar amplitudinea și faza inițială. Metoda simbolică, bine dezvoltată în teoria circuitelor, este de asemenea utilizată pe scară largă Operația de reprezentare a semnalelor deterministe sub forma unui set de componente constante (. componenta constanta) iar suma oscilaţiilor armonice cu frecvenţe multiple se numeşte de obicei descompunerea spectrală. Utilizarea destul de răspândită a seriei Fourier generalizate în teoria semnalului este, de asemenea, asociată cu proprietatea sa foarte importantă: cu un sistem de funcții ortonormal ales. vk(t)și un număr fix de termeni în serie (2.9), oferă cea mai bună reprezentare a unui semnal dat u(t). Această proprietate a seriei Fourier este cunoscută pe scară largă.

În reprezentarea spectrală a semnalelor, cele mai utilizate sunt bazele ortonormale ale funcțiilor trigonometrice. Acest lucru se datorează următoarelor: oscilațiile armonice sunt cel mai ușor de generat; semnalele armonice sunt invariante în raport cu transformările efectuate de circuitele electrice liniare staţionare.

Să evaluăm reprezentările temporale și spectrale ale semnalului analogic (Fig. 2.10). În fig. 2.10, O prezintă o diagramă temporală a unui semnal continuu complex, iar Fig. 2.10, b - descompunerea sa spectrală.

Să considerăm reprezentarea spectrală a semnalelor periodice ca o sumă fie a funcțiilor armonice, fie a exponențialelor complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică.

Periodic ei numesc semnalul u„(?). repetând la intervale regulate (Fig. 2.11):

unde Г este perioada de repetare sau repetare a impulsurilor; n = 0,1, 2,....

Orez. 2.11. Semnal periodic

Dacă T este perioada semnalului u(t), atunci și perioadele vor fi multipli ale acesteia: 2G, 3 T etc. O secvență periodică de impulsuri (se numesc impulsuri video) este descris prin expresia

Orez. 2.10.

O- diagrama timpului; b- spectrul de amplitudine

Aici uQ(t)- forma unui singur impuls, caracterizată prin amplitudine (înălțime) h = E, durata t„, perioada de urmărire T= 1/F(F - frecvență), poziția impulsurilor în timp în raport cu punctele de ceas, de exemplu t = 0.

Pentru analiza spectrală a semnalelor periodice, sistemul ortogonal (2.7) sub formă de funcții armonice cu frecvențe multiple este convenabil:

unde co, = 2p/T- rata de repetare a pulsului.

Prin calcularea integralelor folosind formula (2.8), este ușor de verificat ortogonalitatea acestor funcții pe intervalul [-Г/2, Г/2|. Orice funcție satisface condiția de periodicitate (2.11), deoarece frecvențele lor sunt multiple. Dacă sistemul (2.12) se scrie ca

atunci obținem o bază ortonormală a funcțiilor armonice.

Să ne imaginăm un semnal periodic, cel mai comun în teoria semnalului trigonometric(sinus-cosinus) formă Seria Fourier:

Din cursul de matematică se știe că expansiunea (2.11) există, i.e. seria converge dacă funcția (în acest caz semnalul) u(t) pe intervalul [-7/2, 7/2] satisface Condiții Dirichlet(spre deosebire de teorema lui Dirichlet, acestea sunt adesea interpretate într-un mod simplificat):

• nu ar trebui să existe discontinuități de al 2-lea fel (cu ramuri mergând la infinit);
• funcția este mărginită și are un număr finit de discontinuități de primul fel (sărituri);
• o funcție are un număr finit de extreme (adică maxime și minime).

Formula (2.13) conține următoarele componente ale semnalului analizat:

Componentă constantă

Amplitudini ale componentelor cosinus

Amplitudini ale componentelor sinusoidale

Componenta spectrală cu frecvența co, în teoria comunicării se numește primul (de bază) armonic, și componente cu frecvențe ISO, (n> 1) - armonici superioare semnal periodic. Se numește treapta de frecvență Aco dintre două sinusoide adiacente din expansiunea Fourier rezolutie frecventa spectru

Dacă semnalul este o funcție uniformă a timpului u(t) = u(-t), atunci în reprezentarea trigonometrică a seriei Fourier (2.13) nu există coeficienți sinusoidali b n, deoarece conform formulei (2.16) ele dispar. Pentru semnal u(t), descrisă de o funcție impară a timpului, dimpotrivă, conform formulei (2.15), coeficienții cosinus sunt egali cu zero a p(componentă constantă un 0 lipsește și el), iar seria conține componente b p.

Limitele de integrare (de la -7/2 la 7/2) nu trebuie să fie aceleași ca în formulele (2.14)-(2.16). Integrarea poate fi efectuată pe orice interval de timp de lățime 7 - rezultatul nu se va schimba. Limitele specifice sunt alese din motive de comoditate de calcul; de exemplu, poate fi mai ușor să se integreze de la O la 7 sau de la -7 la 0 etc.

Ramură a matematicii care stabilește relația dintre o funcție a timpului u(t) și coeficienții spectrale a p, b p, numit analiza armonică datorită conexiunii funcţiei u(t) cu termenii sinus și cosinus ai acestei sume. Mai mult, analiza spectrală este limitată în principal la cadrul analizei armonice, care își găsește aplicație exclusivă.

Adesea, utilizarea formei sinus-cosinus a seriei Fourier nu este complet convenabilă, deoarece pentru fiecare valoare a indicelui de însumare n(adică pentru fiecare armonică cu frecvența mOj) în formula (2.13) apar doi termeni - cosinus și sinus. Din punct de vedere matematic, este mai convenabil să se reprezinte această formulă printr-o serie Fourier echivalentă în formă reală/.

Unde A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + b - amplitudine; a n-a armonică a semnalului. Uneori în relația (2.17) în fața lui sr L este plasat un semn „plus”, apoi faza inițială a armonicilor se scrie ca sr u = -arctg ( b n fa n).

În teoria semnalului, forma complexă a seriei Fourier este utilizată pe scară largă. Se obține din forma reală a seriei prin reprezentarea cosinusului ca o jumătate de sumă de exponențiale complexe folosind formula lui Euler:

Aplicând această transformare la forma reală a seriei Fourier (2.17), obținem sumele exponențialelor complexe cu exponenți pozitivi și negativi:

Și acum vom interpreta în formula (2.19) exponenții la frecvența с, cu semnul minus în exponent, ca membri ai unei serii cu numere negative. În cadrul aceleiași abordări, coeficientul A 0 va deveni membru al seriei cu numărul zero. După simple transformări ajungem la formă complexă Seria Fourier

Amplitudine complexă n armonicele-le-a.

Valori S p prin numere pozitive și negative n sunt complexe conjugate.

Rețineți că seria Fourier (2.20) este un ansamblu de exponențiale complexe exp(jn(o (t) cu frecvenţele formând o progresie aritmetică.

Să determinăm legătura dintre coeficienții formelor trigonometrice și complexe ale seriei Fourier. Este evident că

Se mai poate demonstra că coeficienţii a p= 2C w coscp„; b n = 2C/I sincp, f .

Dacă u(t) este o funcție pară, coeficienții seriei C vor fi real,și dacă u(t) - funcția este impară, coeficienții seriei vor deveni imaginar.

Reprezentarea spectrală a unui semnal periodic prin forma complexă a seriei Fourier (2.20) conține atât frecvențe pozitive, cât și negative. Dar frecvențele negative nu există în natură, iar aceasta este o abstractizare matematică (sensul fizic al unei frecvențe negative este rotația în direcția opusă celei care este considerată pozitivă). Ele apar ca o consecință a reprezentării formale a vibrațiilor armonice într-o formă complexă. La trecerea de la forma complexă de notație (2.20) la forma reală (2.17), frecvența negativă dispare.

Spectrul semnalului poate fi judecat vizual, dar acesta imagine grafică- diagrama spectrală (Fig. 2.12). Distinge amplitudine-frecventaŞi spectre de fază-frecvență. Set de amplitudini armonice A p(Fig. 2.12, O) numit spectrul de amplitudine, fazele lor (Fig. 2.12, b) miercuri I - spectrul de fază. Totalitate S p = |S p este spectru de amplitudine complex(Fig. 2.12, V). Pe diagramele spectrale, axele de abscisă indică frecvența curentă, iar axele ordonatelor indică fie amplitudinea sau faza reală sau complexă a componentelor armonice corespunzătoare ale semnalului analizat.

Orez. 2.12.

A - amplitudine; b - fază; V - spectrul de amplitudine al seriei complexe Fourier

Se numește spectrul unui semnal periodic stăpânit sau discret, deoarece este format din linii individuale cu o înălțime egală cu amplitudinea A p armonici Dintre toate tipurile de spectre, spectrele de amplitudine sunt cele mai informative, deoarece permit estimarea conținutului cantitativ al anumitor armonici în compoziția de frecvență a semnalului. În teoria semnalului s-a dovedit că spectrul de amplitudine este funcția de frecvență uniformă, și faza - ciudat.

Nota echidistanţă(echidistanța de la originea coordonatelor) spectrului complex al semnalelor periodice: frecvențe simetrice (pozitive și negative) la care se află coeficienții spectrale ai seriei trigonometrice Fourier formează o secvență echidistantă (..., -zho v..., -2so p -so p 0, v 2 deci, ..., ncov...), care conține frecvența co = 0 și având o treaptă co t = 2l/7’. Coeficienții pot lua orice valoare.

Exemplul 2.1

Să calculăm spectrele de amplitudine și fază ale unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare cu amplitudinea?, durata m și perioada de repetiție T. Semnalul este o funcție uniformă (Fig. 2.13).

Orez. 2.13.

Soluţie

Se știe că un impuls video dreptunghiular ideal este descris de următoarea ecuație:

aceste. se formează ca diferența a două funcții unitare a(?) (funcții de includere), deplasate în timp cu tn.

Secvența de impulsuri dreptunghiulare este o sumă cunoscută de impulsuri individuale:

Deoarece semnalul dat este o funcție pară a timpului și pe parcursul unei perioade acționează numai asupra intervalului [t și /2, t și /2], atunci conform formulei (2.14)

Unde q = T/ T”.

Analizând formula rezultată, puteți vedea că perioada de repetare și durata pulsului sunt incluse în ea sub forma unui raport. Această opțiune q- se numeste raportul dintre perioada si durata impulsurilor ciclu de lucru secvență periodică de impulsuri (în literatura străină, în loc de ciclu de lucru, se folosește valoarea inversă - ciclu de lucru, din engleză, ciclu de lucru, egal cu m și /7); la q = 2 o succesiune de impulsuri dreptunghiulare, când duratele impulsurilor și intervalele dintre ele devin egale, se numește meandre(din grecescul paiav5poq - model, ornament geometric).

Datorită parității funcției care descrie semnalul analizat, în seria Fourier, împreună cu componenta constantă, vor fi prezente doar componentele cosinus (2.15):

În partea dreaptă a formulei (2.22), al doilea factor are forma unei funcții elementare (sinx)/x. În matematică, această funcție este notată ca sinc(x) și numai pentru valoare X= 0 este egal cu unu (lim (sinx/x) =1), trece

prin zero în punctele x = ±l, ±2l,... și decade cu argumentul crescător x (Fig. 2.14). În cele din urmă, seria Fourier trigonometrică (2.13), care aproximează semnalul dat, se scrie sub forma

Orez. 2.14. Graficul unei funcții sinx/x

Funcția sinus are un caracter petală. Vorbind despre lățimea lobilor, trebuie subliniat faptul că pentru graficele spectrelor discrete ale semnalelor periodice sunt posibile două opțiuni pentru calibrarea axei orizontale - în numere și frecvențe armonice. De exemplu, în Fig. 2.14 Axa ordonatelor este calibrată pentru a corespunde frecvenţelor. Lățimea lobilor, măsurată în numărul de armonici, este egală cu ciclul de lucru al secvenței. Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - nu conține (au amplitudini zero) armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru. Cu un ciclu de lucru al impulsului de trei, fiecare a treia armonică dispare. Dacă ciclul de lucru ar fi egal cu doi, atunci doar armonicile impare ale frecvenței fundamentale ar rămâne în spectru.

Din formula (2.22) și Fig. 2.14 rezultă că coeficienții unui număr de armonici superioare ale semnalului au semn negativ. Acest lucru se datorează faptului că faza inițială a acestor armonici este egală cu p. Prin urmare, formula (2.22) este de obicei prezentată într-o formă modificată:

Cu această înregistrare a seriei Fourier, valorile amplitudinii tuturor componentelor armonice superioare de pe graficul diagramei spectrale sunt pozitive (Fig. 2.15, O).

Spectrul de amplitudine al semnalului depinde în mare măsură de raportul perioadei de repetiție Tși durata pulsului t și, adică din ciclul de lucru q. Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu frecvența de repetare a impulsului cu 1 = 2l/T. Lățimea lobilor spectrului, măsurată în unități de frecvență, este egală cu 2π/tn, adică. este invers proporţională cu durata pulsului. Rețineți că pentru aceeași durată a impulsului m și cu creșterea non-

Orez. 2.15.

O- amplitudine;b- faza

perioada de repetare a acestora T frecvența fundamentală co scade și spectrul devine mai dens.

Aceeași imagine se observă dacă durata pulsului t este scurtată și perioada rămâne neschimbată T. Amplitudinile tuturor armonicilor scad. Aceasta este o manifestare a legii generale (principiul de incertitudine al lui W. Heisenberg - Principiul incertitudinii), Cu cât durata semnalului este mai scurtă, cu atât spectrul său este mai larg.

Fazele componentelor se determină din formula cp = arctg (bn/an). Din moment ce aici coeficienţii b„= 0, atunci

Unde m = 0, 1, 2,....

Relația (2.24) arată că la calcularea fazelor componentelor spectrale avem de-a face cu incertitudine matematică. Pentru a o dezvălui, să ne întoarcem la formula (2.22), conform căreia amplitudinile armonicilor își schimbă periodic semnul în funcție de schimbarea semnului funcției sin(nco 1 x 1I /2). Schimbarea semnului în formula (2.22) este echivalentă cu deplasarea fazei acestei funcții cu p. Prin urmare, când această funcție faza pozitivă, armonică (p u = 2 tp, iar când negativ - = (2t + 1 )La(Fig. 2.15, b). Rețineți că, deși amplitudinile componentelor din spectrul impulsurilor dreptunghiulare scad odată cu creșterea frecvenței (vezi Fig. 2.15, O), această dezintegrare este destul de lentă (amplitudinele scad invers proporțional cu frecvența). Pentru a transmite astfel de impulsuri fără distorsiuni, este necesară o bandă de frecvență infinită a canalului de comunicație. Pentru distorsiuni relativ subtile, valoarea limită a benzii de frecvență ar trebui să fie de multe ori mai mare decât valoarea inversă a duratei impulsului. Cu toate acestea, toate canalele reale au o lățime de bandă finită, ceea ce duce la distorsiuni în forma impulsurilor transmise.

Seria Fourier de semnale periodice arbitrare poate conține un număr infinit de termeni. La calcularea spectrelor unor astfel de semnale, calcularea sumei infinite a seriei Fourier provoacă anumite dificultăți și nu este întotdeauna necesară, prin urmare ne limităm la însumarea unui număr finit de termeni (seria este „trunchiată”).

Precizia aproximării semnalului depinde de numărul de componente însumate. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul de aproximare prin suma primelor opt armonici ale unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare (Fig. 2.16). Semnalul are forma unui meandre unipolar cu o perioadă de repetare Că amplitudine E= 1 și durata pulsului t și = T/2 (semnal specificat - funcție pară - Fig. 2.16, O; ciclu de lucru q= 2). Aproximarea este prezentată în Fig. 2.16, b, iar graficele arată numărul de armonici însumate. În aproximarea în curs de desfășurare a unui semnal periodic dat (vezi Fig. 2.13) prin seria trigonometrică (2.13), însumarea primelor armonice și a armonicilor superioare se va efectua numai pe coeficienți impari. Pu deoarece dacă valorile și durata pulsului lor sunt pare, m și = T/2 = = tm/co, valoarea sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) devine zero.

Forma trigonometrică a seriei Fourier (2.23) pentru un semnal dat are forma

Orez. 2.16.

A - semnal dat; 6 - etape intermediare de însumare

Pentru ușurința prezentării, seria Fourier (2.25) poate fi scrisă simplificată:

Din formula (2.26) este evident că armonicile care aproximează meandrul sunt impare, au semne alternative, iar amplitudinile lor sunt invers proporționale cu numerele. Rețineți că o secvență de impulsuri dreptunghiulare este slab potrivită pentru reprezentarea printr-o serie Fourier - aproximarea conține ondulații și salturi, iar suma oricărui număr de componente armonice cu orice amplitudine va fi întotdeauna o funcție continuă. Prin urmare, comportamentul seriei Fourier în vecinătatea discontinuităților prezintă un interes deosebit. Din graficele din Fig. 2.16, b este ușor de observat cum, odată cu creșterea numărului de armonici însumate, funcția rezultată se apropie din ce în ce mai mult de forma semnalului inițial u(t) peste tot, cu excepția punctelor de rupere. În vecinătatea punctelor de discontinuitate, însumarea seriei Fourier dă o pantă, iar panta funcției rezultate crește odată cu numărul de armonici însumate. În chiar punctul de discontinuitate (să-l notăm ca t = t 0) Seria Fourier u(t 0) converge la jumătate din suma limitelor din dreapta și din stânga:

În secțiunile curbei aproximative adiacente discontinuității, suma seriei dă pulsații vizibile, iar în fig. 2.16 este clar că amplitudinea creșterii principale a acestor pulsații nu scade odată cu creșterea numărului de armonici însumate - se comprimă doar pe orizontală, apropiindu-se de punctul de rupere.

La n-? la punctele de rupere amplitudinea de ejecție rămâne constantă,

iar lățimea sa va fi infinit de îngustă. Atât amplitudinea relativă a pulsațiilor (față de amplitudinea săriturii), cât și atenuarea relativă nu se modifică; Se modifică doar frecvența de pulsație, care este determinată de frecvența ultimelor armonice însumate. Acest lucru se datorează convergenței seriei Fourier. Să luăm un exemplu clasic: vei ajunge vreodată la perete dacă vei parcurge jumătate din distanța rămasă cu fiecare pas? Primul pas te va duce până la jumătatea drumului, al doilea te va duce la trei sferturi din drum, iar după al cincilea pas vei ajunge la aproape 97% din drum. Aproape ești acolo, dar indiferent de câți pași înainte ai face, nu o vei ajunge niciodată în sens strict matematic. Nu poți decât să demonstrezi matematic că până la urmă te vei putea apropia de orice distanță dată, oricât de mică. Această dovadă ar fi echivalentă cu a demonstra că suma numerelor este 1/2,1/4,1/8,1/16 etc. tinde spre unitate. Acest fenomen, inerent în toate seriile Fourier pentru semnale cu discontinuități de primul fel (de exemplu, salturi, ca pe fronturile impulsurilor dreptunghiulare), se numește efectul Gibbs*. În acest caz, valoarea primei (cea mai mare) creștere a amplitudinii din curba aproximativă este de aproximativ 9% din nivelul de salt (vezi Fig. 2.16, n = 4).

Efectul Gibbs duce la o eroare iremediabilă în aproximarea semnalelor periodice de puls cu discontinuități de primul fel. Efectul apare atunci când există o încălcare accentuată a monotoniei funcțiilor. La cursele de cai, efectul este maxim în toate celelalte cazuri, amplitudinea pulsațiilor depinde de natura încălcării monotoniei. Pentru o serie de aplicații practice, efectul Gibbs provoacă anumite probleme. De exemplu, în sistemele de reproducere a sunetului, acest fenomen se numește „sunet” sau „clipire”. Mai mult, fiecare consoană ascuțită sau alt sunet brusc poate fi însoțit de un sunet scurt care este neplăcut pentru ureche.

Seria Fourier poate fi aplicată nu numai semnalelor periodice, ci și semnalelor cu durată finită. În acest caz, ora este specificată

intervalul final pentru care se construiește seria Fourier, iar alteori se ia în considerare semnalul egal cu zero. Pentru a calcula coeficienții unei serii, această abordare înseamnă continuare periodică semnal în afara intervalului considerat.

Rețineți că natura (de exemplu, auzul uman) folosește principiul analizei semnalului armonic. O persoană efectuează o transformare Fourier virtuală ori de câte ori aude un sunet: urechea realizează automat acest lucru, reprezentând sunetul ca un spectru de valori succesive de intensitate pentru tonuri de diferite înălțimi. Creierul uman transformă această informație în sunet perceput.

Sinteza armonică. În teoria semnalelor, împreună cu analiza armonică a semnalelor, se folosesc pe scară largă sinteza armonică- obţinerea de oscilaţii specificate de formă complexă prin însumarea unui număr de componente armonice ale spectrului acestora. În esență, mai sus a fost efectuată sinteza unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare prin suma unui număr de armonici. În practică, aceste operații sunt efectuate pe un computer, așa cum se arată în Fig. 2.16, b.

• Jean Baptiste Joseph Fourier (J.B.J. Fourier; 1768-1830) - matematician și fizician francez.
• Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - fizician și matematician american, unul dintre fondatorii termodinamicii chimice și fizicii statistice.