Operații în teoria diverselor sisteme de numere. Operații aritmetice în diferite sisteme de numere binare. Unele sisteme numerice

Deoarece V sistem binarÎn notație, pentru scrierea numerelor sunt folosite doar 2 cifre - 0 și 1, ceea ce înseamnă că atunci când se adaugă 1 + 1, 0 este scris în cifra de ordin inferioară, iar 1 trece la cifra de ordin superior.

Prin analogie cu 10-ss: 9 + 1 (numărul zece nu este în notația numerelor), 0 și 1 sunt scrise în cifra cea mai semnificativă, rezultând 10.

Exemple

1) Să adăugăm 10110 2 și 111011 2 într-o coloană. Cele de sus indică un report de la cifra anterioară:

2) Efectuați adunarea pentru următoarele numere binare:

3) Adăugați numerele: 10000000100 2 + 111000010 2 și verificați

10000000100 2 + 111000010 2 = 10111000110 2 .

Să verificăm rezultatele calculului prin conversia la sistemul numeric zecimal. Pentru a face acest lucru, vom converti fiecare termen și sumă în sistemul numeric zecimal și vom efectua adăugarea termenilor în sistemul numeric zecimal. Rezultatul trebuie să se potrivească cu suma.

10000000100 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 2 = 1024 + 4 = 1028 10

111000010 2 = 1× 2 8 + 1× 2 7 + 1× 2 6 + 1 × 2 1 = 256 + 128 + 64 + 2 = 450 10

10111000110 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 =

1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =1478 10

1028 10 + 450 10 =1478 10 .

Rezultatele sunt aceleași, prin urmare, calculele în sistemul de numere binar au fost efectuate corect.

Numerele octale

Tabelul de adunare a numărului octal

+

Când se calculează în sistem octal trebuie să vă amintiți că cifra maximă este 7. Transferul în timpul adunării are loc atunci când suma din următoarea cifră este mai mare decât 7. Un împrumut de la cea mai mare cifră este egal cu 10 8 = 8 și toate cifrele „intermediare” sunt completate cu numărul 7 - cea mai mare cifră a sistemului numeric.

Exemplu

1) În exemplu, intrarea 1⋅8 + 2 înseamnă că rezultatul este o sumă mai mare de 7, care nu se încadrează într-o cifră. Unul intră în report, iar cei doi rămân în această categorie.

2) Efectuați adăugarea 223,2 8 + 427,54 8 si verifica rezultatele obtinute.

223,2 8 + 427,54 8 = 652,74 8 .

Să verificăm rezultatele calculului prin conversia la sistemul numeric zecimal:

223,2 8 = 2 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1 = 128 + 16 + 3 + 0,25 =

427,54 8 = 4 × 8 2 + 2 × 8 1 + 7 × 8 0 + 5 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,6875 10

652,74 8 = 6 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 7 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,9375 10

147,25 10 + 279,6875 10 =426,9375 10

Rezultatele sunt aceleași, prin urmare, calculele în sistemul de numere octale au fost efectuate corect.

Numere hexazecimale

Tabel de adunare hexazecimală

Atunci când efectuați adunări, trebuie să vă amintiți că într-un sistem de bază 16, apare un transport atunci când suma din următoarea cifră depășește 15. Este convenabil să rescrieți mai întâi numerele originale, înlocuind toate literele cu valorile lor numerice.

Exemple

2) Efectuați adăugarea 3B3,6 16 + 38B,4 16 și verificați

3B3,6 16 + 38B,4 16 = 73E,A 16.

Să verificăm:

3B3.6 16 = 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 3 × 16 0 + 6 × 16 -1 = 768 + 176 +

3 + 0,375 = 947,375 10

38B.4 16 = 3 × 16 2 + 8 × 16 1 + 11 × 16 0 + 4 × 16 -1 = 768 + 128 +

11 + 0,25 = 907,25 10

73E,A 16 = 7 × 8 2 + 3 × 8 1 + 14 × 8 0 + 10 × 8 -1 = = 1792 + 48 + 14 + 0,625 = 1854,625 10

947,375 10 + 907,25 10 = 1854,625 10 .

Rezultatele sunt aceleași, prin urmare, calculele în sistemul numeric hexazecimal au fost efectuate corect.

Scădere

Numerele binare

Scăderea este efectuată în același mod ca în sistemul zecimal. Iată regulile de bază:

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 10 2 – 1 = 1.

În acest din urmă caz, trebuie să contractați un împrumut din categoria anterioară.

Scăderea se realizează prin analogie cu sistemul numeric zecimal.

Pentru a înțelege principiul, să revenim temporar la sistemul zecimal. Scădeți numărul 9 din numărul 21:

Deoarece 9 nu poate fi scăzut de la 1, trebuie să luați un împrumut din cifra anterioară, care conține 2. Ca rezultat, 10 este adăugat la cifra inferioară, iar în următorul 2 este redus la 1. Acum puteți scădea: 1 + 10 – 9 = 2. În cifra mare scădeți zero din unitatea rămasă:

Un caz mai complex este un împrumut dintr-o categorie îndepărtată (nu din apropiere). Să scădem 9 din 2001. În acest caz, nu este posibil să se împrumute din cea mai apropiată cifră (există 0), așa că luăm un împrumut din cifra în care se află numărul 2. Prin urmare, toate cifrele intermediare sunt completate numărul 9, aceasta este cea mai mare cifră a sistemului numeric zecimal:

În sistemul de numere binar, atunci când se ia un împrumut, nu 10, ci 102 = 2 (baza sistemului de numere) se adaugă la cifra „de lucru” și toate cifrele „intermediare” (între „funcționează” și unul de unde este luat împrumutul) sunt completate nu cu nouă , ci în unități (cea mai semnificativă cifră a sistemului numeric).

Exemple

Dacă trebuie să scazi număr mai mare din cel mai mic, scade cel mai mic din cel mai mare și pune semnul minus pe rezultat:

3) 4)

Numerele octale

La scadere, „– 1” înseamnă că a existat anterior un împrumut din această categorie (valoarea acestuia a scăzut cu 1), iar „+ 8” înseamnă un împrumut din următoarea categorie.

2) Scădere

Numere hexazecimale

La scădere, un împrumut din cea mai mare cifră este egal cu 10 16 = 16, iar toate cifrele „intermediare” sunt completate cu numărul F - cea mai înaltă cifră a sistemului numeric.

De exemplu,

Multiplicare

Numerele binare

X

Înmulțirea și împărțirea lungă în sistemul binar sunt efectuate aproape în același mod ca în sistemul zecimal (dar folosind regulile de adunare și scădere binară).

De exemplu ,

1) 2)

Numerele octale

Tabelul înmulțirii octale

´

Folosind tabelul de înmulțire octal, folosind aceleași reguli care se aplică în sistemul numeric zecimal, se realizează înmulțirea și împărțirea numerelor octale cu mai multe cifre.

Exemplu

Numere hexazecimale

Tabelul înmulțirii

Exemplu

Diviziune separat în sistemul zecimal, deoarece pentru numerele de la 0 la 7 notația lor octală coincide cu cea zecimală);

3) Îndoiți

Soluție (prin hexazecimal):

1) (mai întâi convertit la sistemul binar, apoi notația binară a numărului a fost împărțită în tetrade de la dreapta la stânga, fiecare tetradă a fost convertită în hexazecimal; în acest caz, tetradele pot fi convertite din sistemul binar în zecimalși apoi înlocuiți toate numerele mai mari de 9 cu litere - A, B, C, D, E, F);

2) , nu este nevoie de transfer oriunde;

3) pliază

4) convertiți toate răspunsurile în hexazecimal:

121 8 = 001 010 001 2 = 0101 0001 2 = 51 16 (tradus în sistem binar prin triade, împărțit în tetrade de la dreapta la stânga, fiecare tetradă a fost tradusă separatîn sistemul zecimal, toate numerele mai mari de 9 au fost înlocuite cu litere - A, B, C, D, E, F).

171 2 = 001 111 001 2 = 0111 1001 2 = 79 16 ,

69 16, nu este nevoie de traducere

1000001 2 = 0100 0001 2 = 41 16 .

Sisteme numerice.

Sistemul numeric numiți un set de simboluri (cifre) și regulile de utilizare a acestora pentru a reprezenta numere.

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale.

ÎNnepozițională numerele de greutate ale sistemelor(adică contribuția pe care o aduce la valoarea numărului) nu depinde de pozitia eiîn scris numărul. Astfel, în sistemul numeric roman în numărul XXXII (treizeci și doi), ponderea numărului X în orice poziție este pur și simplu zece.

ÎNpozițional sisteme socoteala greutatea fiecărei cifre se modifică în funcție de poziția acesteia(poziții) într-o succesiune de cifre reprezentând un număr. De exemplu, în numărul 757,7, primul șapte înseamnă 7 sute, al doilea - 7 unități, iar al treilea - 7 zecimi de unitate.

Însăși notația numărului 757,7 înseamnă o notație prescurtată a expresiei

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Orice sistem de numere pozițional este caracterizat de acesta bază.

Baza sistemului numeric pozițional este numărul de caractere sau simboluri diferite folosite pentru a reprezenta numere într-un sistem dat.

Nenumărate sisteme poziționale posibile: binar, ternar, cuaternar etc. Scrierea numerelor în fiecare sistem numeric cu o bază qînseamnă o abreviere a expresiei

o n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 +a 0 q 0 +a -1 q -1 + ... + o - m q - m , Unde o i – numerele sistemului de numere; n Şi m – numărul de cifre întregi și, respectiv, fracționale.

De exemplu:

Pe lângă zecimal, sistemele cu baza fiind întreg putere de 2, anume:

binar(se folosesc cifrele 0, 1);

octal(se folosesc cifrele 0, 1, ..., 7);

hexazecimal(pentru primele numere întregi de la zero la nouă se folosesc numerele 0, 1, ..., 9, iar pentru următoarele numere - de la zece la cincisprezece - se folosesc simbolurile A, B, C, D, E, F ca numere).

Este util să ne amintim notația din aceste sisteme de numere pentru primele două zeci de numere întregi:

Dintre toate sistemele numerice mai ales simpluşi prin urmare Sistemul de numere binare este interesant pentru implementarea tehnică în computere.

Traducere octal Şi hexazecimal numere la sistemul binar foarte simplu: trebuie doar să înlocuiți fiecare cifră cu echivalentul său binar triadă (trei cifre) sau caietul (patru cifre).

De exemplu:

Pentru a converti un număr din binar sisteme în octal sau hexazecimal, trebuie împărțit la stânga și la dreapta punctului zecimal în triade(pentru octal) sau tetrade(pentru hexazecimal) și înlocuiți fiecare astfel de grup cu cifra octală (hexazecimală) corespunzătoare.

De exemplu,

La traducerea întregului zecimal numere într-un sistem radix q trebuie să fie secvenţial împărțiți pe q până când există un rest mai mic sau egal cu q–1. Număr în sistemul de bază q se scrie ca o succesiune de resturi de diviziune scrise în ordine inversă, începând cu cea mai recentă.

Exemplu: Convertiți numărul 75 din zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Răspuns: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

La conversia numerelor din binar sistem (octal, hexazecimal) în zecimal Acest număr trebuie reprezentat ca suma puterilor bazei sistemului său numeric.

exemple:

LECȚIA Nr. 19-20.

Subiect

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale. Înmulțirea și împărțirea.

Obiectivul lecției: arată metode de operații aritmetice (înmulțire și împărțire) a numerelor în diferite sisteme de numere, testează stăpânirea temei „Adunarea și scăderea numerelor în diverse sisteme socoteala."

Obiectivele lecției:

educativ

aplicare practică

dezvoltarea:

educativ:

Materiale și echipamente pentru lecție: carduri pentru muncă independentă, tabele de înmulțire.

Tip de lecție: lecție combinată

Formatul lecției: individual, frontal.

Progresul lecției:

1. Verificarea temelor.

Teme pentru acasă:

1. № 2.41 (1 și 2 coloane), atelier, p. 55

Soluţie:

A) 11102+10012 =101112

B) 678+238=1128

B)AF16+9716 = 14616

D)11102-10012 =1012

D) 678-238 =448

E) AF16-9716 =1816

2. Nr. 2.48 (pagina 56)

2. Munca independentă„Adunarea și scăderea numerelor în diferite sisteme de numere.” (20 minute)

Munca independentă. clasa a X-a.
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Scădere: 10111-111; 11 - 1110 4. Adunați și scădeți în sistem octal: 738 și 258	Opțiunea 1

Munca independentă. clasa a X-a. Sistem de numere binar: translație 2® 10; plus.
1. Convertiți din sistemul numeric binar în sistemul numeric zecimal. 2. Adăugați două numere binare. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Scăderea: 111-1001; 1110+111 4. Adunați și scădeți în hexazecimal: 7316 și 2916	Opțiunea 2

3. Material nou.

1. Înmulțirea

Când înmulțiți numere cu mai multe cifre în diferite sisteme de numere poziționale, puteți utiliza algoritmul obișnuit pentru înmulțirea numerelor într-o coloană, dar rezultatele înmulțirii și adunării numerelor cu o singură cifră trebuie împrumutate din tabelele de înmulțire și adunare corespunzătoare sistemului din întrebare.

Înmulțirea în sistem binar

Înmulțirea în sistem octal

Datorită simplității extreme a tablei înmulțirii în sistemul binar, înmulțirea se reduce doar la deplasări ale multiplicandului și adunări.

Exemplul 1. Să înmulțim numerele 5 și 6 în sisteme numerice zecimal, binar, octal și hexazecimal.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
Răspuns: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Examinare.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Exemplul 2. Să înmulțim numerele 115 și 51 în sisteme numerice zecimal, binar, octal și hexazecimal.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
Răspuns: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Examinare. Să convertim produsele rezultate în formă zecimală:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. DIVIZIUNEA

Împărțirea în orice sistem de numere pozițional se efectuează după aceleași reguli ca și împărțirea după unghi în sistemul zecimal. În sistemul binar, împărțirea este deosebit de ușoară, deoarece următoarea cifră a coeficientului poate fi doar zero sau unu.
Exemplul 3.Împărțiți numărul 30 la numărul 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
Răspuns: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Exemplul 4.Împărțiți numărul 5865 la numărul 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

Octal: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
Răspuns: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Examinare. Să convertim coeficientii rezultați în formă zecimală:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Tema pentru acasă:

1. Pregătiți-vă pentru testul nr. 2 „Pe tema sistemelor numerice. Traducerea numerelor. Operații aritmetice în sisteme numerice"

2. Atelierul Ugrinovich, nr. 2.46, 2.47, p. 56.

Literatură:

1. Atelier de informatică și tehnologia informației. Tutorial pentru instituţiile de învăţământ / , . – M.: Binom. Laboratorul de Cunoaștere, 2002. 400 p.: ill.

2. Ugrinovich și tehnologia de informație. Manual pentru clasele 10-11. – M.: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2003.

3. Shautsukova: Manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. educatie generala instituţiilor. – M.: Educație, 2003.9 - p. 97-101, 104-107.

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operațiile aritmetice în toate sistemele de numere poziționale sunt efectuate după aceleași reguli care vă sunt bine cunoscute.

Plus. Să luăm în considerare adăugarea numerelor în sistemul de numere binar. Se bazează pe un tabel pentru adăugarea numerelor binare cu o singură cifră:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Este important să acordați atenție faptului că atunci când adăugați două unități, cifra depășește și este transferată la cea mai semnificativă cifră. O depășire de cifre are loc atunci când valoarea numărului din acesta devine egală sau mai mare decât baza.

Adăugarea numerelor binare pe mai mulți biți are loc în conformitate cu tabelul de adăugare de mai sus, ținând cont de posibilele transferuri de la cifre de ordin scăzut la cifre de ordin înalt. De exemplu, să adăugăm numerele binare 110 2 și 11 2 într-o coloană:

Să verificăm corectitudinea calculelor prin adăugarea în sistemul numeric zecimal. Să convertim numere binare în sistemul numeric zecimal și apoi să le adăugăm:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Acum să convertim rezultatul adunării binare într-un număr zecimal:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Să comparăm rezultatele - adăugarea a fost efectuată corect.

Scădere. Să ne uităm la scăderea numerelor binare. Se bazează pe un tabel pentru scăderea numerelor binare cu o singură cifră. Când se scade un număr mai mare (1) dintr-un număr mai mic (0), se face un împrumut din cifra cea mai mare. În tabel, împrumutul este desemnat 1 cu o linie:

Multiplicare.Înmulțirea se bazează pe tabelul de înmulțire pentru numere binare cu o singură cifră:

Diviziune. Operația de împărțire se realizează folosind un algoritm similar cu algoritmul pentru efectuarea operației de împărțire în sistemul numeric zecimal. De exemplu, să împărțim numărul binar 110 2 la 11 2:

Pentru a efectua operații aritmetice asupra numerelor exprimate în sisteme numerice diferite, este necesar să le convertim mai întâi în același sistem.

Misiuni

1.22. Adunați, scădeți, înmulțiți și împărțiți numerele binare 1010 2 și 10 2 și verificați corectitudinea operațiilor aritmetice folosind un calculator electronic.

1.23. Adăugați numere octale: 5 8 și 4 8, 17 8 și 41 8.

1.24. Scădeți numerele hexazecimale: F 16 și A 16, 41 16 și 17 16.

1.25. Adăugați numerele: 17 8 și 17 16, 41 8 și 41 16

Operațiile aritmetice în toate sistemele de numere poziționale sunt efectuate după aceleași reguli. Pentru a efectua operații aritmetice asupra numerelor reprezentate în diferite sisteme numerice, este necesar să le convertiți mai întâi într-un sistem numeric și să țineți cont de faptul că transferul la următoarea cifră în timpul operației de adunare și împrumutul de la cea mai mare cifră în timpul operația de scădere sunt determinate de valoarea bazei sistemului numeric.

Operațiile aritmetice din sistemul numeric binar se bazează pe tabele de adunare, scădere și înmulțire a numerelor binare cu o singură cifră.

Când se adună două unități, cifra se depășește și unitatea este transferată la cea mai mare cifră la scăderea 0-1, se face un împrumut din tabelul „Scădere”, acest împrumut este desemnat 1 cu o linie; număr (Tabelul 3).

Tabelul 3

Mai jos sunt exemple de efectuare a operațiilor aritmetice pe numere reprezentate în diferite sisteme numerice:

Operațiile aritmetice asupra numerelor întregi reprezentate în diverse sisteme numerice sunt implementate destul de simplu folosind programele Calculator și MS Excel.

1.3. Reprezentarea numerelor într-un computer

Datele numerice sunt procesate într-un computer folosind sistemul de numere binar. Numerele sunt stocate în memoria computerului în cod binar, adică ca o secvență de zerouri și unu și poate fi reprezentat în format fix sau flotant.

Numerele întregi sunt stocate în memorie în format fix. Cu acest format pentru reprezentarea numerelor, un registru de memorie format din opt celule de memorie (8 biți) este alocat pentru stocarea numerelor întregi nenegative. Fiecare cifră a unei celule de memorie corespunde întotdeauna aceleiași cifre a numărului, iar virgula este situată în dreapta după cifra cea mai puțin semnificativă și în afara grilei de cifre. De exemplu, numărul 110011012 ar fi stocat într-un registru de memorie după cum urmează:

Tabelul 4

Valoarea maximă a unui număr întreg nenegativ care poate fi stocat într-un registru în format de virgulă fixă poate fi determinată din formula: 2n – 1, unde n este numărul de cifre ale numărului. Numărul maxim va fi egal cu 28 - 1 = 25510 = 111111112 și minimul 010 = 000000002. Astfel, intervalul de modificări ale numerelor întregi nenegative va fi de la 0 la 25510.

Spre deosebire de sistemul zecimal, sistemul de numere binar în reprezentarea computerizată a unui număr binar nu are simboluri care să indice semnul numărului: pozitiv (+) sau negativ (-), prin urmare, pentru a reprezenta numere întregi cu semn în sistemul binar, două se folosesc formate de reprezentare a numerelor: formatul valorii numerelor semnate și formatul complementului a doi. În primul caz, două registre de memorie (16 biți) sunt alocate pentru stocarea numerelor întregi cu semn, iar cifra cea mai semnificativă (cel mai din stânga) este folosită ca semn al numărului: dacă numărul este pozitiv, atunci 0 este scris în bitul de semn. , dacă numărul este negativ, atunci 1. De exemplu, numărul 53610 = 00000010000110002 va fi reprezentat în registrele de memorie sub următoarea formă:

Tabelul 5

și un număr negativ -53610 = 10000010000110002 sub forma:

Tabelul 6

Numărul maxim pozitiv sau numărul minim negativ în formatul valorii numărului cu semn (ținând cont de reprezentarea unei cifre pe semn) este 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 11111111111111112 și intervalul de numere va fi de la - 3276710 la 32767.

Cel mai adesea, pentru a reprezenta numerele întregi cu semne în sistemul binar, se utilizează formatul de cod complementar al celor două, care vă permite să înlocuiți operația aritmetică de scădere într-un computer cu o operație de adunare, care simplifică semnificativ structura microprocesorului și crește performanța acestuia. .

Pentru a reprezenta numerele întregi negative în acest format, se folosește codul complementului la doi, care este modulul complementului unui număr negativ la zero. Conversia unui întreg negativ în complement a doi se realizează folosind următoarele operații:

1) scrieți modulul numărului în cod direct în n (n = 16) cifre binare;

2) obțineți codul invers al numărului (inversați toate cifrele numărului, adică înlocuiți toate cifrele cu zerouri și zerourile cu unu);

3) adăugați una la cifra cea mai puțin semnificativă la codul invers rezultat.

De exemplu, pentru numărul -53610 în acest format, modulul va fi 00000010000110002, codul reciproc va fi 1111110111100111, iar codul suplimentar va fi 1111110111101000.

Trebuie amintit că complementul unui număr pozitiv este numărul însuși.

Pentru a stoca numere întregi cu semne altele decât reprezentarea computerului pe 16 biți atunci când este utilizat două registre de memorie(acest format de numere se mai numește și format de număr întreg cu semn scurt), sunt utilizate formatele întregi cu semn mediu și lung. Pentru a reprezenta numerele în formatul numărului mijlociu se folosesc patru registre (4 x 8 = 32 de biți), iar pentru a reprezenta numerele în formatul numărului lung se folosesc opt registre (8 x 8 = 64 de biți). Intervalele de valori pentru formatele de număr mediu și lung vor fi, respectiv: -(231 – 1) ... + 231 – 1 și -(263-1) ... + 263 – 1.

Reprezentarea computerizată a numerelor în format punct fix are avantajele și dezavantajele sale. LA beneficii includ simplitatea reprezentării numerelor și algoritmi pentru implementarea operațiilor aritmetice dezavantajele sunt gama finită de reprezentare a numerelor, care poate fi insuficientă pentru rezolvarea multor probleme de natură practică (matematice, economice, fizice etc.).

Numerele reale (zecimale finite și infinite) sunt procesate și stocate într-un computer în format virgulă mobilă. Cu acest format de reprezentare a numărului, poziția punctului zecimal în intrare se poate modifica. Orice număr real K în format virgulă mobilă poate fi reprezentat ca:

unde A este mantisa numărului; h – baza sistemului numeric; p – ordinea numerelor.

Expresia (2.7) pentru sistemul numeric zecimal va lua forma:

pentru binar -

pentru octal -

pentru hexazecimal -

Această formă de reprezentare a numerelor se mai numește normal . Odată cu o schimbare în ordine, virgula din număr se deplasează, adică pare să plutească spre stânga sau spre dreapta. Prin urmare, se numește forma normală de reprezentare a numerelor formă în virgulă mobilă. Numărul zecimal 15,5, de exemplu, în format virgulă mobilă poate fi reprezentat ca: 0,155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155,0 10-1; 1550.0 10-2 etc. Acest formular de înregistrare număr zecimal 15.5 virgulă mobilă nu este folosită la scriere programe de calculatorși introducerea lor în computer (dispozitivele de intrare pe computer percep doar înregistrarea liniară a datelor). Pe baza acestui fapt, expresia (2.7) pentru reprezentarea numerelor zecimale și introducerea lor în computer este convertită în forma

unde P este ordinea numărului,

adică, în locul bazei sistemului numeric 10, ei scriu litera E, în loc de virgulă, punct, iar semnul înmulțirii nu este plasat. Astfel, numărul 15,5 în virgulă mobilă și format liniar (reprezentare pe computer) se va scrie ca: 0,155E2; 1,55E1; 15,5E0; 155,0E-1; 1550.0E-2 etc.

Indiferent de sistemul numeric, orice număr sub formă de virgulă mobilă poate fi reprezentat printr-un număr infinit de numere. Această formă de înregistrare se numește nenormalizat . Pentru o reprezentare fără ambiguitate a numerelor în virgulă mobilă, se utilizează o formă normalizată de scriere a unui număr, în care mantisa numărului trebuie să îndeplinească condiția

unde |A| - valoarea absolută a mantisei numărului.

Condiția (2.9) înseamnă că mantisa trebuie să fie o fracție proprie și să aibă o cifră diferită de zero după virgulă, sau, cu alte cuvinte, dacă mantisa nu are un zero după virgulă, atunci numărul se numește normalizat. . Deci, numărul 15,5 în formă normalizată (mantisă normalizată) în formă de virgulă mobilă va arăta astfel: 0,155 102, adică mantisa normalizată va fi A = 0,155 și ordinul P = 2, sau în reprezentarea computerizată a numărului 0,155E2 .

Numerele în virgulă mobilă au un format fix și ocupă patru (32 de biți) sau opt octeți (64 de biți) din memoria computerului. Dacă un număr ocupă 32 de biți în memoria computerului, atunci este un număr obișnuit de precizie dacă este de 64 de biți, atunci este un număr de precizie dublă. Când se scrie un număr în virgulă mobilă, biții sunt alocați pentru a stoca semnul mantisei, semnul exponentului, mantisei și exponentului. Numărul de cifre alocat ordinii numărului determină gama de variație a numerelor, iar numărul de cifre alocat pentru stocarea mantisei determină precizia cu care este specificat numărul.

Atunci când se efectuează operații aritmetice (adunare și scădere) pe numere prezentate în format virgulă mobilă, se implementează următoarea procedură (algoritm):

1) se aliniază ordinea numerelor pe care se efectuează operațiile aritmetice (ordinea numărului mai mic în valoare absolută crește la ordinea numărului mai mare în valoare absolută, mantisa scade de același număr de ori);

2) se efectuează operații aritmetice pe mantisele numerelor;

3) rezultatul obținut este normalizat.

Operații în teoria diverselor sisteme de numere. Operații aritmetice în diferite sisteme de numere binare. Unele sisteme numerice

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

1.3. Reprezentarea numerelor într-un computer

Mai recent

Trebuie să știi asta