Care sisteme numerice sunt non-poziționale. Notaţie. Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice

test

Sisteme numerice poziționale și nepoziționale

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional. Semnele folosite pentru scrierea numerelor se numesc cifre.

În sistemele numerice nepoziționale, poziția cifrei în notația numerică nu depinde de valoarea pe care o reprezintă. Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman, care folosește litere latine ca numere.

În sistemele de numere poziționale, valoarea notată printr-o cifră într-un număr depinde de poziția acestuia. Numărul de cifre folosit se numește baza sistemului numeric. Locul fiecărei cifre într-un număr se numește poziție. Primul sistem cunoscut de noi pe baza principiului pozițional este sexagesimalul babilonian. Numerele din el erau de două tipuri, dintre care unul desemna unități, celălalt - zeci.

În prezent, sistemele de numere poziționale sunt mai răspândite decât sistemele de numere non-poziționale. Acest lucru se datorează faptului că vă permit să înregistrați numere mari folosind un număr relativ mic de caractere. Chiar mai mult avantaj important sisteme poziționale reprezintă simplitatea și ușurința efectuării operațiilor aritmetice asupra numerelor scrise în aceste sisteme.

Cel mai des folosit este sistemul zecimal indo-arab. Indienii au fost primii care au folosit zero pentru a indica semnificația pozițională a unei cantități dintr-un șir de numere. Acest sistem se numește zecimal deoarece are zece cifre.

Diferența dintre sistemele de numere poziționale și nepoziționale este cel mai ușor de înțeles prin compararea a două numere. În sistemul numeric pozițional are loc compararea a două numere după cum urmează: în numerele luate în considerare, de la stânga la dreapta, se compară cifrele aflate în aceleași poziții. Un număr mai mare corespunde unei valori mai mari. De exemplu, pentru numerele 123 și 234, 1 este mai mic decât 2, deci 234 este mai mare decât 123. Într-un sistem numeric nepozițional, această regulă nu se aplică. Un exemplu în acest sens ar fi o comparație a două numere IX și VI. Chiar dacă I ​​este mai mic decât V, IX este mai mare decât VI.

Baza sistemului numeric în care este scris un număr este de obicei indicată printr-un indice. De exemplu, 555 7 este un număr scris în sistemul numeric zecimal. Dacă un număr este scris în sistemul zecimal, atunci baza nu este de obicei indicată. Baza sistemului este, de asemenea, un număr și este indicat în sistemul zecimal obișnuit. Orice număr întreg din sistemul pozițional poate fi scris sub formă polinomială:

Х s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 ·S 1 +A 1 ·S 0

unde S este baza sistemului numeric, iar n este cifrele numărului scris în acest sistem numeric, n este numărul de cifre ale numărului.

Deci, de exemplu, numărul 6293 10 va fi scris sub formă polinomială după cum urmează:

6293 10 =6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Exemple de sisteme de numere poziționale:

· Binar (sau baza 2) este un sistem de numere pozițional (loc) întreg pozitiv care permite reprezentarea diferitelor valori numerice folosind două simboluri. Cel mai adesea acestea sunt 0 și 1.

· Octal este un sistem de numere întregi pozițional bazat pe baza 8. Folosește cifrele de la 0 la 7 pentru a reprezenta numerele Octal este adesea folosit în zonele care implică dispozitive digitale. Anterior, a fost utilizat pe scară largă în programare și documentație pe computer, dar acum a fost aproape complet înlocuit cu hexazecimal.

· Sistemul numeric zecimal este un sistem numeric pozițional bazat pe baza întregului 10. Cel mai comun sistem de numere din lume. Cele mai frecvent utilizate simboluri pentru scrierea numerelor sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, numite cifre arabe.

· Duoden (folosit pe scară largă în antichitate, în anumite zone este folosit și astăzi) - un sistem numeric pozițional cu o bază întreagă 12. Numerele folosite sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Unele popoare din Nigeria și Tibet încă folosesc sistemul numeric duozecimal, dar ecouri ale acestuia pot fi găsite în aproape fiecare cultură. În rusă există cuvântul „duzină”, în engleză „duzină”, în unele locuri se folosește cuvântul doisprezece în loc de „zece”, ca număr rotund, de exemplu, așteptați 12 minute.

· Hexazecimal (cel mai comun în programare, precum și în fonturi) este un sistem de numere pozițional bazat pe baza întregului 16. De obicei, cifrele zecimale de la 0 la 9 sunt folosite ca cifre hexazecimale, iar literele latine de la A la F sunt folosite pentru a reprezenta numere de la 10 la 15. Folosit pe scară largă în programarea de nivel scăzut și în documentația computerizată în general, deoarece calculatoare moderne Unitatea minimă de memorie este un octet de 8 biți, ale cărui valori sunt scrise convenabil ca două cifre hexazecimale.

· Hexazecimal (măsurarea unghiurilor și, în special, a longitudinei și a latitudinii) este un sistem de numere pozițional bazat pe baza întregului 60. Folosit în antichitate în Orientul Mijlociu. Consecințele acestui sistem numeric sunt împărțirea gradelor unghiulare și arcului (precum și a orelor) în 60 de minute și a minutelor în 60 de secunde.

Cel mai mare interes atunci când lucrați la un computer sunt sistemele de numere cu bazele 2, 8 și 16. Aceste sisteme de numere sunt de obicei suficiente pentru funcționarea completă atât a unei persoane, cât și a unui computer, dar uneori, din cauza diverselor circumstanțe, trebuie totuși să vă întoarceți. la alte sisteme numerice, de exemplu la sistemele numerice ternare, septale sau de bază 32.

Pentru a opera cu numere scrise în astfel de sisteme netradiționale, trebuie să rețineți că ele nu diferă în mod fundamental de sistemul zecimal obișnuit. Adunarea, scăderea și înmulțirea lor se efectuează conform aceleiași scheme.

Alte sisteme numerice nu sunt utilizate în principal pentru că viata de zi cu zi oamenii sunt obișnuiți să folosească sistemul numeric zecimal și nu este necesar altul. În calculatoare, se folosește sistemul de numere binar, deoarece este destul de simplu de utilizat cu numere scrise în formă binară.

Sistemul hexazecimal este adesea folosit în informatică, deoarece scrierea numerelor în el este mult mai scurtă decât scrierea numerelor în sistem binar. Poate apărea întrebarea: de ce să nu folosiți un sistem numeric, de exemplu baza 50, pentru a scrie numere foarte mari? Un astfel de sistem de numere necesită 10 cifre obișnuite plus 40 de semne, care ar corespunde numerelor de la 10 la 49 și este puțin probabil ca cineva să vrea să lucreze cu aceste patruzeci de caractere. Prin urmare, în viața reală, sistemele de numere bazate pe baze mai mari de 16 practic nu sunt utilizate.

Introducere în fractali

Funcția logaritmică în probleme

Exemplul43. Rezolvați sistemul de ecuații Soluție Să transformăm a doua ecuație în sistem, aplicând definiția logaritmului și ținând cont că expresia de sub semnul logaritmului trebuie să fie strict pozitivă: Răspuns: . Exemplul 44...

Jocuri poziționale

Jocuri poziționale

Proiectarea lecțiilor de matematică pe tema „Numerotarea” folosind mijloace moderne antrenament

Sistemul numeric pozițional a apărut pentru prima dată în Babilonul antic. În India, sistemul funcționează sub formă de numerotare zecimală pozițională folosind zero, printre hinduși acest sistem numerele au fost împrumutate de națiunea arabă, de la ei, la rândul lor...

Un sistem numeric este o modalitate de înregistrare (reprezentare) a numerelor. Diferitele sisteme de numere care existau înainte și care sunt utilizate în prezent sunt împărțite în două grupe: · pozițional, · nepozițional...

Notaţie. Înregistrarea acțiunilor pe numere

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional. Semnele folosite pentru a scrie numerele se numesc cifre...

Notaţie. Înregistrarea acțiunilor pe numere

Sistemul de numere binare a fost inventat de matematicieni și filozofi chiar înainte de apariția computerelor (secolele XVII - XIX). Unele dintre ideile din spatele sistemului binar erau cunoscute în esență în China antică...

Notaţie. Înregistrarea acțiunilor pe numere

Cele mai comune sisteme de numere sunt binare, hexazecimale și zecimale și octale...

1.1 Istoria apariției diferitelor sisteme de numere Omul primitiv aproape că nu trebuia să numere. „Unul”, „doi” și „multe” - acestea sunt toate numerele lui. Dar la noi - oameni moderni- trebuie să te ocupi de numere literalmente la fiecare pas...

Sisteme numerice și elemente de bază ale codificărilor binare

În cea mai veche numerotare, a fost folosit doar semnul „|”. pentru unul, și fiecare număr natural a fost scris prin repetarea simbolului unității de câte ori există unități în acel număr...

Sisteme numerice și elemente de bază ale codificărilor binare

Pe lângă sistemul numeric zecimal, sunt posibile sisteme de numere poziționale cu orice altă bază naturală. În diferite perioade istorice, multe popoare utilizate pe scară largă diverse sisteme socoteala...

Sisteme numerice și elemente de bază ale codificărilor binare

1.5.1 Adunarea și scăderea În sistemul cu baza i, numerele 0, 1, 2, ..., c - 1 sunt folosite pentru a desemna zero și primul c-1 de numere naturale Pentru a efectua operația de adunare și scăderea, se întocmește un tabel pentru a adăuga numere cu o singură cifră.. .

Sisteme numerice și elemente de bază ale codificărilor binare

Sistemul zecimal atât de familiar s-a dovedit a fi incomod pentru computere. Dacă în dispozitivele de calcul mecanice care utilizează sistemul zecimal, este suficient să folosiți pur și simplu un element cu mai multe stări (o roată cu nouă dinți) ...

Fractali - o nouă ramură a matematicii

Conceptul de sisteme L, strâns legat de fractalii auto-similari, a apărut abia în 1968 datorită lui Aristrid Lindenmayer. Inițial, sistemele L au fost introduse în studiul limbajelor formale...

Sisteme numerice non-poziționale

Oamenii au învățat să numere cu mult timp în urmă. Ulterior, a apărut necesitatea înregistrării numerelor. Numărul de obiecte a fost reprezentat prin desenarea liniuțelor sau a crestăturilor pe o suprafață dură, pentru ca doi oameni să poată stoca cu precizie unele informații numerice, au luat o etichetă de lemn, au făcut numărul necesar de crestături pe ea și apoi au împărțit eticheta în jumătate. Fiecare și-a luat cealaltă jumătate și a păstrat-o. Această tehnică ne-a permis să evităm situațiile controversate. Arheologii au găsit astfel de înregistrări în timpul săpăturilor. Ele datează din mileniul 10-11 î.Hr.
Oamenii de știință au numit acest sistem de scriere a numerelor unitate (unară), deoarece orice număr din el este format prin repetarea unui semn care simbolizează unul.

Ulterior, aceste insigne au început să fie combinate în grupuri de 3, 5 și 10 bețe. Prin urmare, au apărut sisteme numerice mai convenabile.

În jurul mileniului al treilea î.Hr., egiptenii au venit cu propriul sistem numeric, în care icoane speciale - hieroglife - erau folosite pentru a indica numerele cheie. Fiecare astfel de hieroglifă poate fi repetată de cel mult 9 ori Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic

Un exemplu de sistem numeric non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma Antică. Se numeștesistem de numere romane.

Se bazează pe semnele I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Numerele romane au fost folosite de foarte mult timp astăzi sunt folosite în principal pentru a denumi date semnificative, volume, secțiuni și capitole din cărți.

Pentru a scrie numerele, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea.
Reguli pentru compilarea numerelor în sistemul numeric roman:

  1. Se adună mai multe numere identice pe rând (grup de primul tip).
  2. Dacă există una mai mică la stânga cifrei mai mari, atunci valoarea cifrei mai mici se scade din valoarea celei mai mari (grup de al doilea tip).
  3. Se adună valorile grupurilor și numerelor care nu sunt incluse în grupurile primului și al doilea tip.

În antichitate, sistemele numerice care aminteau de cele romane erau utilizate pe scară largă în Rus'. Au fost chemați yasak. Cu ajutorul lor, colectorii au completat bonuri de plată a impozitelor (yasak) și au făcut înregistrări în caietul fiscal.

„Cartea Rusă a Impozitelor”

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

  1. Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.
  2. Este imposibil să se reprezinte numere fracționale și negative.
  3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor. În special, toate popoarele, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca abacul nostru.

Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

Lucrări de laborator №16

Sisteme numerice

Partea teoretică

ÎN bază

<10 используют n первых арабских цифр, а при n>

Baza Nume Alfabet
n=2 binar 0 1
n=3 ternar 0 1 2
n=4 cuaternar 0 1 2 3
n=5 cinci ori 0 1 2 3 4
n=6 șase ori 0 1 2 3 4 5
n=7 septenar 0 1 2 3 4 5 6
n=8 octal 0 1 2 3 4 5 6 7
n=10 zecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16 hexazecimal
Radix
IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40

Să ne uităm la numere:

Conversia din sistemul de numere zecimal în altele

Exemplu: Să convertim numărul 75 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Răspuns: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Conversia la sistemul numeric zecimal

Conversia numerelor întregi din sistemul numeric cu baza q (sistem non-zecimal) în sistemul numeric zecimal se efectuează conform regulii: dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt reprezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată se calculează conform regulilor aritmeticii zecimale, apoi se obține un număr în sistemul zecimal egal cu dat. Să ne uităm la exemple:

112 3 = 1 3 2 + 1 3 1 + 2 3 0 = 9 + 3 + 2 = 14 10

101101 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45 10

15FC 16= 1 16 3 + 5 16 2 + 15(F) 16 1 + 12(C) 16 0 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10

Forma extinsă a numărului

Forma extinsă de scriere a unui număr– aceasta este o înregistrare sub formă de termeni de cifre scrise folosind gradul cifrei corespunzătoare și baza gradului.

Să ne uităm la exemple:

32478 10 = 3 10000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 =

3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0

112 3 = 1·3 2 + 1·3 1 + 2·3 0

101101 2 = 1·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0

15FC 16 = 1 16 3 + 5 16 2 + 15 16 1 + 12 16 0

Plus

Tabelele de adunare sunt ușor de creat folosind regula de numărare.

Calcul

Exemplul 4. Scădeți unul din numerele 10 2, 10 8 și 10 16

Exemplul 5. Scădeți unul din numerele 100 2, 100 8 și 100 16.


Exemplul 6. Scădeți numărul 59,75 din numărul 201,25.

Răspuns: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Examinare. Să convertim diferențele rezultate în formă zecimală:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Multiplicare

Când înmulțiți numere cu mai multe cifre în diferite sisteme de numere poziționale, puteți utiliza algoritmul obișnuit pentru înmulțirea numerelor într-o coloană, dar rezultatele înmulțirii și adunării numerelor cu o singură cifră trebuie împrumutate din tabelele de înmulțire și adunare corespunzătoare sistemului din întrebare.

DIVIZIUNEA

Împărțirea în orice sistem de numere pozițional se efectuează după aceleași reguli ca și împărțirea după unghi în sistemul zecimal. În sistemul binar, împărțirea este deosebit de simplă, deoarece următoarea cifră a coeficientului poate fi doar zero sau unu.
Exemplul 9. Împărțiți numărul 30 la numărul 6.


Răspuns: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Exemplul 10. Împărțiți numărul 5865 la numărul 115.

Octal: 13351 8:163 8


Răspuns: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
Examinare.
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

Exemplul 11. Împărțiți numărul 35 la numărul 14.

Octal: 43 8: 16 8

Răspuns: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Examinare. Să convertim coeficientii rezultați în formă zecimală:

10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;

2,4 8 = 2 . 8 0 + 4 .

Sisteme de numere octale și hexazecimale

Sistemul binar, convenabil pentru computere, este incomod pentru oameni din cauza volumului său și a notării neobișnuite.

Conversia numerelor din sistemul zecimal în sistemul binar și invers este efectuată de o mașină. Cu toate acestea, pentru a folosi un computer în mod profesional, trebuie să înveți să înțelegi cuvântul mașină. Acesta este motivul pentru care au fost dezvoltate sistemele octal și hexazecimal.

Numerele din aceste sisteme sunt citite aproape la fel de ușor ca și cele zecimale necesită, respectiv, de trei (octale) și, respectiv, de patru (hexazecimale) mai puține cifre decât în ​​sistemul binar (la urma urmei, numerele 8 și, respectiv, 16 sunt a treia); iar puterile a patra ale numărului 2) .

De exemplu:

De exemplu,

Cum se transformă o fracție zecimală adecvată în orice alt sistem de numere pozițional?

Pentru a converti fracția zecimală corectă Fîntr-un sistem numeric cu o bază q necesar F multiplica cu q, scris în același sistem zecimal, atunci parte fracționatăînmulțiți din nou produsul rezultat cu q, etc., până când partea fracțională a următorului produs devine egală cu zero sau este atinsă precizia necesară de reprezentare a numărului F V q-ic sistem. Reprezentarea părții fracționale a unui număr F V sistem nou numărul va fi o succesiune de părți întregi ale lucrărilor rezultate, notate în ordinea în care au fost primite și descrise într-o singură q-cifră ară. În cazul în care numărul necesar precizia traducerii F se ridică la k zecimale, atunci eroarea absolută maximă este egală cu q -(k+1) / 2.

Exemplu. Să convertim numărul 0,36 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Lucrări practice.

1. Convertiți acest număr din sistemul numeric zecimal în sisteme de numere binar, octal și hexazecimal.

c) 712,25 (10);

d) 670,25 (10);

2. Convertiți acest număr în sistemul numeric zecimal.

a) 1001110011 (2) ;

b) 1001000 (2);

c) 1111100111,01 (2);

d) 1010001100,101101 (2);

e) 413,41 (8);

e) 118,8C (16).

3. Adăugați numerele.

a) 1100001100 (2) +1100011001 (2) ;

b) 110010001 (2) +1001101 (2) ;

c) 111111111.001 (2) +1111111110.0101 (2) ;

d) 1443,1 (8) +242,44 (8) ;

e) 2B4,C (16) +EA,4 (16).

Lucrare de laborator nr 16

Sisteme numerice

Partea teoretică

Sisteme numerice poziționale

ÎN sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o notație numerică depinde de poziția acesteia. Se numește numărul de cifre utilizate bază sistem de numere poziționale.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este 10, pentru că Numerele sunt scrise folosind 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primul 3 înseamnă 3 sute, al doilea – 3 zeci, al treilea – 3 unități (semnificația fiecărei cifre depinde de locul pe care îl ocupă această cifră).

Pentru a scrie numere în sistemul pozițional de bază n, trebuie să aveți un alfabet de n cifre. De obicei în acest scop când n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>La zece cifre arabe se adaugă 10 litere. Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Baza Nume Alfabet
n=2 binar 0 1
n=3 ternar 0 1 2
n=4 cuaternar 0 1 2 3
n=5 cinci ori 0 1 2 3 4
n=6 șase ori 0 1 2 3 4 5
n=7 septenar 0 1 2 3 4 5 6
n=8 octal 0 1 2 3 4 5 6 7
n=10 zecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16 hexazecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Dacă trebuie să indicați baza sistemului căreia îi aparține un număr, atunci acesta este alocat cu un indice acestui număr: 101101 2, 3671 8, 3B8F 16

Să scriem primele 17 numere în binar și sisteme octale notaţie:

Radix

Sisteme numerice non-poziționale

Pe lângă cele poziționale, există și altele - sisteme de numere nepoziționale, construite pe alte principii.

În sistemele numerice nepoziționale, poziția cifrei în notația numerică nu depinde de valoarea pe care o reprezintă. Un exemplu binecunoscut al unui astfel de sistem este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Dacă un număr mai mic este scris în stânga și unul mai mare în dreapta, atunci valorile lor se scad:

IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40

Să ne uităm la numere:

a) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. B în acest exemplu numărul X, participând de 3 ori, înseamnă de fiecare dată aceeași valoare - 10 unități.

b) MCMXCVI = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 + 1) = 1996

Vedem adesea cifre romane chiar și acum, de exemplu, activate pe cadranele ceasurilor, în cărți la numerotarea capitolelor, în desemnarea secolelor. Cu toate acestea, ele nu sunt folosite în practica matematică. Sistemele poziționale sunt convenabile deoarece vă permit să scrieți numere mari folosind un număr relativ mic de caractere. Un avantaj și mai important al sistemelor poziționale este simplitatea și ușurința de a efectua operații aritmetice pe numere. Pentru comparație, încercați să înmulțiți două numere din trei cifre scriindu-le cu cifre romane.

Introducere

Tema eseului pentru cursul „Informatică-1” este „Sisteme numerice”.

Scopul redactării unui rezumat: Să se familiarizeze cu conceptul de sistem numeric și clasificare; conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

Conceptul de sistem numeric. Sisteme numerice poziționale și nepoziționale

binar algebric întreg

Un sistem numeric este un sistem de tehnici și reguli care fac posibilă stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între orice număr și reprezentarea acestuia ca un set al unui număr finit de simboluri. Setul de simboluri folosit pentru această reprezentare se numește cifre.

Notaţie:

oferă reprezentări ale unui set de numere (întregi și/sau reale);

dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale. În sistemele nepoziționale, orice număr este definit ca o funcție a valorilor numerice ale setului de cifre care reprezintă acest număr. Cifrele din sistemele numerice nepoziționale corespund anumitor numere fixe. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul numeric roman.

Din punct de vedere istoric, primele sisteme numerice au fost sisteme non-poziționale. Unul dintre principalele dezavantaje este dificultatea de a scrie numere mari. Scrierea unor numere mari în astfel de sisteme este foarte greoaie, iar alfabetul sistemului este extrem de mare.

ÎN tehnologie informatică sistemele nepoziționale nu sunt utilizate. 3

Un sistem de numere se numește pozițional dacă aceeași cifră poate lua valori numerice diferite în funcție de numărul de cifre al acestei cifre din setul de cifre care reprezintă un anumit număr. Un exemplu de astfel de sistem este sistemul numeric zecimal arab.

Baza unui sistem numeric pozițional determină numele acestuia. În calcul se folosesc sisteme binar, octal, zecimal și hexazecimal.

În prezent, sistemele de numere poziționale sunt mai răspândite decât sistemele de numere non-poziționale. Acest lucru se datorează faptului că ele permit să fie scrise numere mari folosind un număr relativ mic de caractere. Un avantaj și mai important al sistemelor poziționale este simplitatea și ușurința de a efectua operații aritmetice pe numerele scrise în aceste sisteme.

Iată exemple în care puteți găsi utilizarea sistemelor numerice poziționale:

binar în matematică discretă, informatică, programare;

zecimală - folosit peste tot;

duozecimal - numărare cu zeci;

hexazecimal - folosit în programare, informatică;

sexagesimal - unități de timp, măsurare a unghiurilor și, în special, coordonate, longitudine și latitudine.

Sistem de numere de unitate

Nevoia de a scrie numere a început să apară printre oameni în cele mai vechi timpuri, după ce au învățat să numere. Dovadă în acest sens sunt descoperirile arheologice din locurile taberelor de oameni primitivi, care datează din perioada paleolitică ($10$-$11$ mii de ani î.Hr.). Inițial, numărul de obiecte a fost reprezentat folosind anumite semne: liniuțe, crestături, cercuri marcate pe pietre, lemn sau lut, precum și noduri pe frânghii.

Figura 1.

Oamenii de știință numesc acest sistem de notare a numerelor unitate (unară), deoarece numărul din el este format din repetarea unui semn, care simbolizează unul.

Dezavantaje ale sistemului:

    atunci când scrieți un număr mare, este necesar să folosiți un număr mare de bețe;

    Poate fi ușor să faci greșeli atunci când aplici bastoanele.

Mai târziu, pentru a ușura numărarea, oamenii au început să combine aceste semne.

Exemplul 1

Exemple de utilizare a sistemului de numere de unități pot fi găsite în viața noastră. De exemplu, copiii mici încearcă să arate câți ani au pe degete, sau bețișoarele de numărat sunt folosite pentru a preda numărarea în clasa întâi.

Sistem unitar nu este pe deplin convenabil, deoarece intrările par foarte lungi și scrierea lor este destul de plictisitoare, așa că în timp, au început să apară sisteme de numere mai practice.

Iată câteva exemple.

Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic

Acest sistem numeric a apărut în jurul anului 3000 î.Hr. ca urmare a faptului că locuitorii Egiptului Antic au venit cu propriul sistem numeric, în care la desemnarea numerelor cheie $1$, $10$, $100$ etc. S-au folosit hieroglife, ceea ce era convenabil atunci când scria pe tăblițe de lut care înlocuiau hârtia. Alte numere au fost făcute din ele folosind adunarea. Mai întâi s-a notat numărul de ordin cel mai înalt, iar apoi cel mai mic. Egiptenii s-au înmulțit și s-au împărțit, dublând succesiv numerele. Fiecare cifră poate fi repetată de până la $9$ ori. Exemple de numere ale acestui sistem sunt date mai jos.

Figura 2.

Sistemul de numere romane

Acest sistem nu este în principiu foarte diferit de cel precedent și a supraviețuit până în zilele noastre. Se bazează pe următoarele semne:

    $I$ (un deget) pentru numărul $1$;

    $V$ (palma deschisă) pentru numărul $5$;

    $X$ (două palme îndoite) pentru $10$;

    pentru a desemna numerele $100$, $500$ și $1000$, s-au folosit primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare ( Сentum- o suta, Demimille- jumătate de mie, Mille- mii).

Când compuneau numere, romanii foloseau următoarele reguli:

    Numărul este egal cu suma valorilor mai multor „cifre” identice situate într-un rând, formând un grup de primul tip.

    Numărul este egal cu diferența dintre valorile a două „cifre” dacă cea mai mică este la stânga celei mai mari. În acest caz, din valoarea mai mare se scade valoarea celui mai mic. Împreună formează un grup de al doilea tip. În acest caz, „cifra” din stânga poate fi mai mică decât cea din dreapta cu maxim $1$ comandă: înainte de $L(50)$ și $C(100$) dintre cele „mai mici” pot fi doar $X (10$), înainte de $D(500$ ) și $M(1000$) – doar $C(100$), înainte de $V(5) – I(1)$.

    Numărul este egal cu suma valorilor grupului și „cifrelor” neincluse în grupurile $1$ sau $2$.

Figura 3.

Numerele romane au fost folosite din cele mai vechi timpuri: ele indică date, numărul de volume, secțiuni și capitole. Obișnuiam să cred că cifrele arabe obișnuite ar putea fi ușor falsificate.

Sisteme numerice alfabetice

Aceste sisteme de numere sunt mai avansate. Acestea includ greci, slavi, fenicieni, evrei și altele. În aceste sisteme, numerele de la $1$ la $9$, precum și numărul de zeci (de la $10$ la $90$), sute (de la $100$ la $900$) au fost desemnate prin litere ale alfabetului.

În sistemul numeric alfabetic grecesc antic, numerele $1, 2, ..., 9$ erau reprezentate de primele nouă litere ale alfabetului grecesc etc. Următoarele $9$ au fost folosite pentru a desemna numerele $10, 20, ..., 90$, iar ultimele $9$ au fost folosite pentru a desemna numerele $100, 200, ..., 900$.

În rândul popoarelor slave, valorile numerice ale literelor au fost stabilite în conformitate cu ordinea alfabetului slav, care a folosit inițial alfabetul glagolitic și apoi alfabetul chirilic.

Figura 4.

Nota 1

Sistemul alfabetic a fost folosit și în Rusiei antice. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea, literele chirilice de $27$ erau folosite ca numere.

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

    Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.

    Este imposibil să se reprezinte numere fracționale și negative.

    Este dificil să se efectueze operații aritmetice deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor.