Логические переменные величины выражения. «Логические величины, операции, выражения. Правила выполнения логических операций

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например:

«Лед - твердое состояние воды» - истинное высказывание.

«Треугольник, это геометрическая фигура» - истинное выска­зывание.

«Париж - столица Китая» - ложное высказывание.

6 < 5 - ложное высказывание.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИ­НА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.

Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и пр. - переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение - простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логичес­ких операций (связок).

Логические операции. В математической логике определены пять основных логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, от­рицание, импликация, эквивалентность. Первые три из них со­ставляют полную систему операций, вследствие чего остальные операции могут быть выражены через них (нормализованы). В ин­форматике обычно используются эти три операции.

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или . Конъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: А В. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значе­ние хотя бы одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связ­ке соответствуют союз ИЛИ. В математической логике она обозна­чается знаком v. Дизъюнкция - двухместная операция; записыва­ется в виде: A v В. Значение такого выражения будет ИСТИНА если значение хотя бы одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно что...»). Отрицание - унарная (одноместная) операция; записы­вается в виде: А или .

Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИ­НА или ЛОЖЬ.

Пример 1. Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делит­ся на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Toгда соответствующая логическая формула имеет вид: А & В. Очевидно, ее значение - ИСТИНА. Пример 2. Рассмотрим сложное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку».

Обозначим через А простое высказывание «летом я поеду Я деревню», а через В - простое высказывание «летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическая форма сложного высказывания имеет вид

Пример 3. Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3».

Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид А

Правила выполнения логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности.

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицания, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок операции влия­ют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Приложения математической логики в базовом курсе

Математическая логика в базах данных. При изучении базового курса информатики ученики впервые встречаются с элементами математической логики в теме «Базы данных» (БД). В реляцион­ных БД логическими величинами являются поля логического типа. Логический тип используется наряду с другими типами полей, и ученики должны научиться выделять его.

Первое понятие о логической величине можно дать как ответ на альтернативный вопрос. Например: «Имеется ли данная книга в библиотеке?» или «Поступил ли абитуриент в университет», или «На улице идет дождь?» и т.п. Ответами на такие вопросы могут быть только «да» или «нет». Синонимами являются «истина», «ложь»; «true», «false». Если поле таблицы будет принимать только такие значения, то ему назначается логический тип.

Например, реляционная база данных ФАКУЛЬТАТИВЫ со­держит сведения о посещении учениками трех факультативов по геологии, цветоводству и танцам. На реляционном языке ее струк­тура описывается так:

ФАКУЛЬТАТИВЫ (УЧЕНИК . ГЕОЛОГИЯ, ЦВЕТОВОДСТВО, ТАНЦЫ)

Поля ГЕОЛОГИЯ, ЦВЕТОВОДСТВО и ТАНЦЫ будут иметь логический тип. Значение ИСТИНА для каждого поля обозначает, что ученик посещает данный факультатив, а ЛОЖЬ - не посещает.

Логические выражения используются в запросах к базе данных в качестве условий поиска. Логические выражения разделяются на простые и сложные. В простых выражениях всегда используется лишь одно поле табли­цы, и не применяются логические операции. В сложных логичес­ких выражениях используются логические операции. Простое логическое выражение представляет собой либо имя поля логичес­кого типа, либо отношение (в математике говорят «неравенство»). Отношения для числовых величин сохраняют смысл математи­ческих неравенств; при вычислении отношений для символьных величин учитывается лексикографический порядок; даты сравни­ваются в порядке их календарной последовательности.

Основная проблема - научить учеников формальному представлению условий поиска в виде логических выражений. На­пример, от фразы «найти все книги, лежащие выше пятой полки» нужно перейти к логическому выражению: ПОЛКА > 5; или условие «выбрать всех неуспевающих по физике» представить в виде: ФИЗИКА < 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь».

Особое внимание надо обратить на использование полей логического типа в условиях поиска. Обычно к ним не применяются отношения. Логическое поле само несет логическое значение: «истина» или «ложь». Например, условие «выбрать всех учеников, посещающих танцы» представится одним именем логического поля ТАНЦЫ.

Сложные логические выражения содержат в себе логические операции. Рассматриваются три основные операции математической логики: конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).

Обычно при объяснении этого вопроса учитель отталкивается от семантического смысла высказываний на русском языке, содержащих союзы И, ИЛИ, частицу НЕ. Например, высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре И по физике» справедливо, если состоятся обе контрольные и ложно, если хотя бы одна не состоится. Другое высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре ИЛИ по физике» будет истинным, если со­стоится хотя бы одна контрольная работа. И, наконец, высказы­вание: «Сегодня НЕ будет контрольной» истинно, если конт­рольная не состоится, т. е. если высказывание о том, что сегодня будет контрольная, оказывается ложным. Из подобных примеров учитель делает выводы о правилах выполнения логических опера­ций: если А и В - логические величины, то выражение

А и В истинно только в том случае, если истинны оба операнда;

А или В ложно только в том случае, если ложны оба операнда;

Не А меняет значение логической величины на противопо­ложное: не истина - ложь; не ложь - истина.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false).

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. - логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И.

В математической логике используются знаки & Конъюнкция - двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В - операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ.

В математической логике используются знаки Дизъюнкция - двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот - неверно, что…).

В математической логике используются знаки Отрицание - одноместная (унарная) операция, записывается в виде А или.

Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0.

Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности.

Таблица истинности

Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция - отрицание (она выполняется раньше других), затем идет - конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или).

Логические схемы

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции.

В этой таблице использованы следующие обозначения:

1 - истина, 0 - ложь, и, или, не - логические операции.

Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения.

Решение: Схема - Вычисление:

Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения.

Решение: Дана схема -

Составим формулу - (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1,

затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1.

Логическая информация и основы логики

С элементами математической логики вы уже встречались в курсе информатики основной школы, изучая способы записи запросов к базе данных и условной функции ЕСЛИ в электронных таблицах, основы алгоритмизации и программирования. Повторим основные понятия логики с целью дальнейшего углубления ваших знаний в использовании ее для программирования.

К числу основных понятий логики относятся: высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказывание «На улице идет дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение А больше, чем В», записанного в форме неравенства: А > В, будет зависеть от значений переменных А и В.

Логические величины - понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины .

Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и др. - переменные логические величины, то, значит, они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение - простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение) . В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или ∧. Конъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: А & В. Значением такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v . Дизъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: A v В. Значением такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.

Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что...»). Отрицание - унарная (одноместная) операция; записывается в виде: ¬ А или Ā.

Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций (здесь И означает «истина», Л - «ложь»):

Логическая формула - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция . Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Например: (А & В) v (¬ А & В) v (¬ А & ¬ В).

Пример. Вычислить значение логической формулы:

¬ X & Y v X & Z,

если логические переменные имеют следующие значения: X = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.

Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:

Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:

1) ЛОЖЬ = ИСТИНА; 2) ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; 3) ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; 4) ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. Ответ: ИСТИНА.

Логические функции на области числовых значений

Алгебра чисел пересекается с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной X множеству положительных чисел выражается через высказывание : «X больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называют неравенством. В логике - отношением.

Отношение X > 0 может быть истинным или ложным. Если X - положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:

< выражение 1 > < знак отношения > < выражение 2 >

Здесь выражения 1 и 2 - некоторые математические выражения, принимающие числовые значения. В частном случае выражение может представлять собой одну константу или одну переменную величину. Знаки отношений могут быть следующими:

Итак, отношение - это простое высказывание, а значит, логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5 > 0 - всегда ИСТИНА, 3 * 6: 2 - всегда ЛОЖЬ; так и переменной: а < b, х + 1 = с - d. Если в отношение входят переменные числовые величины, то и значение отношения будет логической переменной.

Отношение можно рассматривать как логическую функцию от числовых аргументов. Например: F(x) = (х > 0) или Р(х, у) = = (х < у). Аргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значения функции - на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.

Логические функции от числовых аргументов еще называют термином предикат . В алгоритмах предикаты играют роль условий, по которым строятся ветвления и циклы. Предикаты могут быть как простыми логическими функциями, не содержащими логических операций, так и сложными, содержащими логические операции.

Пример 1. Записать предикат (логическую функцию) от двух вещественных аргументов X и Y, который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат (рис. 3.12).

Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции:

F(Х, У) = (X 2 + У 2 < 1).

Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне ее, значение функции F будет ложным.

Пример 2. Записать предикат, который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и У лежит внутри кольца с центром в начале координат, и радиусами R1 и R2.

Поскольку значения R1 и R2 - переменные величины, искомая логическая функция будет иметь четыре аргумента: X, У, R1, R2. Возможны две ситуации:

1) R1 2 < X 2 + У 2 < R2 2 и R1 < R2: R1 - внутренний радиус, R2 - внешний радиус;

2) R2 2 < X 2 + У 2 < R1 2 и R2 < R1: R2 - внутренний радиус, R1 - внешний радиус.

Объединив дизъюнкцией оба этих утверждения и записав их по правилам алгебры логики, получим следующую логическую функцию:

F(Х, У, R1, R2) = (((X 2 + У 2) > R1 2) & ((X 2 + У 2) < R2 2) & R1 < R2) v (((X 2 + У 2) > R2 2) & ((X 2 + У 2) < R1 2) & R2 < R1).

Пример 3. Записать предикат, который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и У лежит внутри фигуры, ограниченной жирными линиями на рис. 3.13.

Фигура ограничена тремя границами, описываемыми уравнениями:

У = -X - левая граница, линейная функция;

У = 1 - верхняя граница, константа;

У = X 2 - правая граница, парабола.

Рассматриваемая область есть пересечение трех полуплоскостей, описываемых неравенствами:

Во внутренних точках все эти три отношения являются одно-временно истинными. Поэтому искомый предикат имеет вид:

F(X, У) = (У > -X) & (Y < 1) & (У > X 2).

Логические выражения на Паскале

Уже говорилось о том, что в Паскале имеется логический тип данных.

Логические константы: true (истина), false (ложь).

Логические переменные: описываются с типом Boolean .

Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения: = (равно), <> (не равно), > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно).

Логические операции: not - отрицание, and - логическое умножение (конъюнкция), or - логическое сложение (дизъюнкция), хоr - исключающее ИЛИ. Таблица истинности для этих операций (Т - true ; F - false ):

Логическое выражение может состоять из логических констант и переменных, отношений, логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false.

Например, логическая формула ¬ X & У v X & Z на Паскале запишется в виде следующего логического выражения:

not X and Y or X and Z,

где X, Y, Z - переменные типа Boolean .

Логические операции располагаются в следующем порядке по убыванию старшинства (приоритета): 1) not , 2) and , 3) or, xor . Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1 ≤ X ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение:

(1 <= Х) and (Х <= 50)

Логическая функция odd(x) принимает значение true , если значение целочисленного аргумента х является нечетным, иначе - false .

Для правильной записи сложного логического выражения (предиката) нужно учитывать относительные приоритеты арифмети-ческих, логических операций и операций отношений, поскольку все они могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке.

1. Арифметические операции: - (минус унарный) *, / +, - 2. Логические операции: not and or, xor 3. Операции отношения: =, <>, >, <, >=, <=

Еще раз обратите внимание, что в логическом выражении, соответствующем предикату из примера 3:

(Y > -X) and (Y < 1) and (Y > X * X),

операции отношения заключены в скобки, поскольку они младше логических операций, а выполняться должны раньше.

Вопросы и задания

1. Какого типа величина получается при вычислении отношения (неравенства) между числами?

2. Что такое предикат? Приведите примеры.

3. Запишите на языке алгебры логики логические функции, которые будут принимать значение ИСТИНА, если справедливы следующие утверждения, и ЛОЖЬ - в противном случае:

А) все числа X, Y, Z равны между собой; б) из чисел X, Y, Z только два равны между собой; в) каждое из чисел X, Y, Z положительно; г) только одно из чисел X, У, Z положительно; д) значения чисел X, У, Z упорядочены по возрастанию.

4. Все формулы, полученные при решении предыдущей задачи, запишите в виде логических выражений на Паскале.

5. Постройте таблицу истинности для логической формулы:

¬X & Y v X & Z.

Пояснение: в таблице истинности должны быть вычислены значения формулы для всех вариантов значений логических переменных: X, У, Z . Следовательно, таблица будет содержать 2 3 = 8 строк и 4 столбца: значения X, У, Z и результат. В таблицу можно добавить дополнительные столбцы, содержащие результаты промежуточных операций.

6. Вычислите значения следующих логических выражений, записанных на Паскале:

Пояснения: odd(x) - логическая функция определения четности аргумента, равна true , если х - нечетное, и равна false , если х - четное; trunc (х) - целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее х по модулю.

Программирование ветвлений